Номер 111, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Траектория движения тела, состоящая из двух дуг (рис. 11).

а) Модули центростремительных ускорений в точках A, B, C одинаковы: $a_{цА} = a_{цВ} = a_{цС}$.

б) Модуль линейной скорости тела не изменяется: $v_А = v_В = v_С = v = const$.

Найти:

а) Соотношение между модулями линейных скоростей $v_A, v_B, v_C$.

б) Соотношение между модулями центростремительных ускорений $a_{цA}, a_{цB}, a_{цC}$.

Решение:

Центростремительное ускорение тела при движении по криволинейной траектории определяется формулой:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

где $v$ — модуль линейной скорости, а $R$ — радиус кривизны траектории в данной точке.

Из рисунка, приняв сторону одной клетки сетки за условную единицу длины $k$, определим радиусы кривизны траектории в точках A, B и C.

Точки А и С находятся на дуге окружности, радиус которой составляет 2 клетки. Следовательно, радиусы кривизны в этих точках равны: $R_A = R_C = 2k$.

Точка B находится на дуге окружности, радиус которой составляет 1 клетку. Следовательно, радиус кривизны в этой точке: $R_B = 1k$.

Таким образом, радиусы кривизны в указанных точках связаны соотношением: $R_A = R_C = 2R_B$.

а) По условию, модули центростремительных ускорений в точках А, В и С одинаковы: $a_{цА} = a_{цВ} = a_{цС}$.

Используя формулу для центростремительного ускорения, можем записать:

$\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_B^2}{R_B} = \frac{v_C^2}{R_C}$

Из равенства радиусов $R_A = R_C$ следует, что $\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_C^2}{R_C}$, откуда $v_A^2 = v_C^2$. Так как модуль скорости является положительной величиной, то $v_A = v_C$.

Теперь сравним скорости в точках А и В:

$\frac{v_A^2}{R_A} = \frac{v_B^2}{R_B}$

Подставим в это равенство соотношение радиусов $R_A = 2R_B$:

$\frac{v_A^2}{2R_B} = \frac{v_B^2}{R_B}$

Отсюда получаем $v_A^2 = 2v_B^2$, что означает $v_A = \sqrt{2} v_B$.

Объединяя полученные результаты, находим итоговое соотношение для модулей скоростей: $v_A = v_C = \sqrt{2} v_B$.

Ответ: Модули линейных скоростей связаны соотношениями $v_A = v_C$ и $v_A > v_B$. Точное соотношение: $v_A = v_C = \sqrt{2} v_B$.

б) По условию, модуль линейной скорости тела постоянен: $v_A = v_B = v_C = v$.

Модули центростремительных ускорений в точках А, В и С равны:

$a_{цA} = \frac{v^2}{R_A}$, $a_{цB} = \frac{v^2}{R_B}$, $a_{цC} = \frac{v^2}{R_C}$

Поскольку скорость $v$ постоянна, модуль центростремительного ускорения обратно пропорционален радиусу кривизны траектории: $a_ц \propto \frac{1}{R}$.

Так как $R_A = R_C > R_B$, для модулей ускорений будет выполняться обратное соотношение: $a_{цA} = a_{цC} < a_{цB}$.

Найдем точное соотношение, используя $R_A = R_C = 2R_B$:

$a_{цA} = a_{цC} = \frac{v^2}{R_A} = \frac{v^2}{2R_B}$

$a_{цB} = \frac{v^2}{R_B}$

Сравнивая выражения для $a_{цA}$ и $a_{цB}$, видим, что $a_{цB} = 2a_{цA}$.

Таким образом, итоговое соотношение для модулей ускорений: $a_{цB} = 2a_{цA} = 2a_{цC}$ или $a_{цA} = a_{цC} = \frac{1}{2}a_{цB}$.

Ответ: Модули центростремительных ускорений связаны соотношениями $a_{цA} = a_{цC}$ и $a_{цB} > a_{цA}$. Точное соотношение: $a_{цB} = 2a_{цA} = 2a_{цC}$.