Номер 115, страница 29 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус колеса, $R = 0,50$ м
Скорость центра колеса, $v = 1,0$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модули скоростей $v_1, v_2, v_3, v_4$ и ускорений $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Решение:

Движение колеса без проскальзывания можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс $\vec{v}$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Из условия качения без проскальзывания (мгновенная скорость точки касания с дорогой равна нулю) следует, что модуль линейной скорости вращения точек на ободе $v_{вращ}$ равен модулю поступательной скорости центра колеса $v$:

$v_{вращ} = \omega R = v = 1,0 \text{ м/с}$.

Результирующая скорость любой точки колеса является векторной суммой скорости поступательного движения $\vec{v}$ и скорости вращательного движения $\vec{v}_{вращ}$.

Примем следующую нумерацию точек на концах диаметров: 1 - верхняя, 2 - передняя (по ходу движения), 3 - нижняя, 4 - задняя.

Определение модулей скоростей $v_1, v_2, v_3, v_4$

Для верхней точки (1) векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{вращ}$ сонаправлены. Модуль результирующей скорости равен сумме модулей:
$v_1 = v + v_{вращ} = v + v = 2v = 2 \cdot 1,0 \text{ м/с} = 2,0 \text{ м/с}$.

Для нижней точки (3) векторы $\vec{v}$ и $\vec{v}_{вращ}$ направлены в противоположные стороны. Модуль результирующей скорости равен разности модулей:
$v_3 = v - v_{вращ} = v - v = 0 \text{ м/с}$.

Для передней (2) и задней (4) точек векторы $\vec{v}$ (горизонтальный) и $\vec{v}_{вращ}$ (вертикальный) перпендикулярны. Модуль результирующей скорости находится по теореме Пифагора:
$v_2 = v_4 = \sqrt{v^2 + v_{вращ}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 1,0 \cdot \sqrt{2} \approx 1,4 \text{ м/с}$.

Ответ: $v_1 = 2,0$ м/с; $v_2 \approx 1,4$ м/с; $v_3 = 0$ м/с; $v_4 \approx 1,4$ м/с.

Определение модулей ускорений $a_1, a_2, a_3, a_4$

Поскольку колесо катится с постоянной скоростью ($v = const$), ускорение его центра равно нулю. Таким образом, ускорение любой точки на ободе относительно земли равно ее ускорению относительно центра колеса. Так как вращение равномерное ($\omega = v/R = const$), точки на ободе испытывают только центростремительное ускорение, направленное к центру колеса. Модуль этого ускорения одинаков для всех точек на ободе:

$a = \frac{v^2}{R}$

Рассчитаем модуль ускорения:

$a = \frac{(1,0 \text{ м/с})^2}{0,50 \text{ м}} = \frac{1,0}{0,50} \text{ м/с}^2 = 2,0 \text{ м/с}^2$.

Это ускорение одинаково по модулю для всех четырех рассматриваемых точек:

$a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 2,0 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_1 = 2,0 \text{ м/с}^2$; $a_2 = 2,0 \text{ м/с}^2$; $a_3 = 2,0 \text{ м/с}^2$; $a_4 = 2,0 \text{ м/с}^2$.