Номер 120, страница 30 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Частота вращения шкива 1, $ν_1 = 20 \text{ с}^{-1}$

Радиус шкива 1, $r_1 = 8,0 \text{ см}$

Радиус шкива 2, $r_2 = 32 \text{ см}$

Радиус шкива 3, $r_3 = 11 \text{ см}$

Радиус шкива 4, $r_4 = 55 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$r_1 = 8,0 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$
$r_2 = 32 \text{ см} = 0,32 \text{ м}$
$r_3 = 11 \text{ см} = 0,11 \text{ м}$
$r_4 = 55 \text{ см} = 0,55 \text{ м}$

Найти:

Угловую скорость шкива 4, $ω_4$.

Решение:

В данной системе движение передается последовательно через две ременные передачи. Рассмотрим каждый этап передачи движения.

1. Первая ременная передача соединяет шкивы 1 и 2. Условие отсутствия проскальзывания означает, что линейные скорости точек на ободах этих шкивов равны линейной скорости ремня, а значит, равны между собой:

$v_1 = v_2$

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $ω$ и радиусом $r$ соотношением $v = ωr$. Угловая скорость шкива 1 определяется его частотой вращения $ν_1$ по формуле $ω_1 = 2πν_1$.

Подставив эти соотношения, получим:

$ω_1 r_1 = ω_2 r_2$

Отсюда можно выразить угловую скорость шкива 2:

$ω_2 = ω_1 \frac{r_1}{r_2} = 2πν_1 \frac{r_1}{r_2}$

2. Шкивы 2 и 3 жестко закреплены на одном валу. Это означает, что они вращаются как единое целое, и их угловые скорости одинаковы:

$ω_3 = ω_2$

3. Вторая ременная передача соединяет шкивы 3 и 4. Аналогично первому случаю, линейные скорости точек на их ободах равны:

$v_3 = v_4$

Используя связь линейной и угловой скоростей, получаем:

$ω_3 r_3 = ω_4 r_4$

4. Из последнего уравнения выразим искомую угловую скорость $ω_4$:

$ω_4 = ω_3 \frac{r_3}{r_4}$

Теперь последовательно подставим выражения для $ω_3$ и $ω_2$, чтобы связать $ω_4$ с исходными данными:

$ω_4 = ω_2 \frac{r_3}{r_4} = \left(2πν_1 \frac{r_1}{r_2}\right) \frac{r_3}{r_4} = 2πν_1 \frac{r_1 r_3}{r_2 r_4}$

5. Подставим числовые значения в итоговую формулу. Для расчета отношения радиусов можно использовать значения в сантиметрах, так как единицы измерения сократятся.

$ω_4 = 2π \cdot 20 \text{ с}^{-1} \cdot \frac{8,0 \text{ см} \cdot 11 \text{ см}}{32 \text{ см} \cdot 55 \text{ см}} = 40π \cdot \frac{88}{1760} \text{ с}^{-1}$

Сократим дробь: $\frac{88}{1760} = \frac{88}{88 \cdot 20} = \frac{1}{20}$

Тогда:

$ω_4 = 40π \cdot \frac{1}{20} \text{ с}^{-1} = 2π \text{ рад/с}$

Для численного ответа примем $π \approx 3,14$:

$ω_4 \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28 \text{ рад/с}$

Ответ: $ω_4 = 2π \text{ рад/с} \approx 6,3 \text{ рад/с}$.