Номер 117, страница 29 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Радиус обруча: $R = 1,0 \text{ м}$
Отношение модулей скоростей: $n = \sqrt{3}$

Найти:
Расстояние между точками: $r$

Решение:
Скорость $\vec{v}$ любой точки на ободе обруча, который катится без проскальзывания, является векторной суммой скорости поступательного движения центра обруча $\vec{v}_c$ и линейной скорости вращательного движения точки вокруг центра $\vec{v}_{rot}$:
$\vec{v} = \vec{v}_c + \vec{v}_{rot}$

Модуль скорости центра обруча $v_c$ (это "скорость движения обруча") связан с угловой скоростью вращения $\omega$ условием качения без проскальзывания: $v_c = \omega R$. Модуль линейной скорости точки на ободе относительно центра также равен $v_{rot} = \omega R$. Следовательно, модули этих скоростей равны: $v_{rot} = v_c$.

Модуль результирующей скорости $v$ найдем по теореме косинусов для векторов:
$v^2 = v_c^2 + v_{rot}^2 + 2v_c v_{rot} \cos\alpha$

Где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{v}_c$ и $\vec{v}_{rot}$. Подставив $v_{rot} = v_c$, получим:
$v^2 = v_c^2 + v_c^2 + 2v_c^2 \cos\alpha = 2v_c^2(1 + \cos\alpha)$

Вектор $\vec{v}_c$ всегда направлен горизонтально, а вектор $\vec{v}_{rot}$ — по касательной к окружности. Если мы определим положение точки на обруче углом $\theta$, отсчитываемым от самой верхней точки обруча, то угол между векторами $\vec{v}_c$ и $\vec{v}_{rot}$ будет равен $\alpha = \theta$.

Таким образом, выражение для модуля скорости точки принимает вид:
$v^2 = 2v_c^2(1 + \cos\theta)$

Применим тригонометрическую формулу $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\theta/2)$:
$v^2 = 2v_c^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) = 4v_c^2\cos^2(\frac{\theta}{2})$
Отсюда $v = 2v_c |\cos(\frac{\theta}{2})|$.

Согласно условию задачи, модуль скорости точки $v$ в $n = \sqrt{3}$ раз больше модуля скорости движения обруча $v_c$:
$v = n \cdot v_c = \sqrt{3}v_c$

Приравнивая выражения для $v$, получаем уравнение:
$\sqrt{3}v_c = 2v_c |\cos(\frac{\theta}{2})|$
$|\cos(\frac{\theta}{2})| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решениями этого уравнения являются:
$\frac{\theta}{2} = \pm \frac{\pi}{6}$

Это дает нам два симметричных положения на обруче, определяемых углами:
$\theta_1 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$
$\theta_2 = -\frac{\pi}{3} = -60^\circ$

Искомое расстояние $r$ — это расстояние между двумя найденными точками. Эти две точки и центр обруча образуют равнобедренный треугольник, две стороны которого равны радиусу $R$, а угол между ними равен $\Delta\theta = |\theta_1 - \theta_2| = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$ (что соответствует $120^\circ$).

Длину основания этого треугольника (хорды $r$) найдем по теореме косинусов:
$r^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos(\frac{2\pi}{3})$
$r^2 = 2R^2 - 2R^2(-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$
$r = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Подставим заданное значение радиуса $R = 1,0$ м:
$r = 1,0 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ м}$

Ответ: $r = \sqrt{3} \text{ м}$.