Номер 109, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1, R_2$ - радиусы окружностей, по которым движутся точки.

$a_1, a_2$ - центростремительные ускорения точек.

$v_1, v_2$ - линейные скорости точек.

$T_1, T_2$ - периоды обращения точек.

По условию $R_1 > R_2$.

Рассматриваются два случая:

а) $v_1 = v_2$

б) $T_1 = T_2$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение модулей центростремительных ускорений $\frac{a_1}{a_2}$ для каждого случая.

Решение:

Центростремительное ускорение материальной точки, движущейся по окружности, можно найти по нескольким формулам. В зависимости от условия задачи, удобно использовать формулу, связывающую ускорение с линейной скоростью $a = \frac{v^2}{R}$ или с периодом обращения $a = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

а) равенства модулей их линейных скоростей

В этом случае линейные скорости точек равны, то есть $v_1 = v_2 = v$.

Используем формулу для центростремительного ускорения через линейную скорость: $a = \frac{v^2}{R}$.

Запишем выражения для ускорений первой и второй точек:

$a_1 = \frac{v_1^2}{R_1}$

$a_2 = \frac{v_2^2}{R_2}$

Найдем отношение модулей их ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{v_1^2}{R_1}}{\frac{v_2^2}{R_2}} = \frac{v_1^2}{R_1} \cdot \frac{R_2}{v_2^2}$

Так как по условию $v_1 = v_2$, то $v_1^2 = v_2^2$. Сократив скорости, получим:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Поскольку $R_1 > R_2$, то отношение ускорений будет меньше единицы.

Ответ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_2}{R_1}$

б) равенства периодов их обращения

В этом случае периоды обращения точек равны, то есть $T_1 = T_2 = T$.

Используем формулу для центростремительного ускорения через период обращения: $a = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Запишем выражения для ускорений первой и второй точек:

$a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}$

$a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}$

Найдем отношение модулей их ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2}}{\frac{4\pi^2 R_2}{T_2^2}} = \frac{4\pi^2 R_1}{T_1^2} \cdot \frac{T_2^2}{4\pi^2 R_2}$

Так как по условию $T_1 = T_2$, то $T_1^2 = T_2^2$. Сократив общие множители $4\pi^2$ и квадраты периодов, получим:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Поскольку $R_1 > R_2$, то отношение ускорений будет больше единицы.

Ответ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{R_1}{R_2}$