Номер 107, страница 28 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Период обращения первого тела $T_1 = 2,0$ с

Период обращения второго тела $T_2 = 6,0$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Минимальный промежуток времени $\Delta t$, через который тела встретятся.

Решение:

Два тела начинают движение одновременно из одной точки в одном направлении. Чтобы тела встретились, более быстрое тело должно опередить более медленное на целое число полных оборотов. Поскольку период обращения первого тела меньше, чем второго ($T_1 < T_2$), его угловая скорость больше, и оно является более быстрым.

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом обращения $T$ формулой:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Угловые скорости первого и второго тел равны соответственно:

$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$

$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$

За время $\Delta t$ первое тело повернется на угол $\phi_1 = \omega_1 \Delta t$, а второе — на угол $\phi_2 = \omega_2 \Delta t$.

Для первой встречи после начала движения первое (более быстрое) тело должно совершить ровно на один оборот больше, чем второе (более медленное). Один оборот соответствует углу $2\pi$ радиан. Таким образом, условие первой встречи можно записать как:

$\phi_1 - \phi_2 = 2\pi$

Подставим выражения для углов через угловые скорости и время:

$\omega_1 \Delta t - \omega_2 \Delta t = 2\pi$

Вынесем $\Delta t$ за скобки:

$\Delta t (\omega_1 - \omega_2) = 2\pi$

Теперь подставим выражения для угловых скоростей через периоды:

$\Delta t \left( \frac{2\pi}{T_1} - \frac{2\pi}{T_2} \right) = 2\pi$

Можно сократить обе части уравнения на $2\pi$:

$\Delta t \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\Delta t \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right) = 1$

Из этого уравнения выразим искомый промежуток времени $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\Delta t = \frac{2,0 \, \text{с} \cdot 6,0 \, \text{с}}{6,0 \, \text{с} - 2,0 \, \text{с}} = \frac{12,0 \, \text{с}^2}{4,0 \, \text{с}} = 3,0 \, \text{с}$

Ответ: Минимальный промежуток времени, через который тела встретятся, равен $3,0$ с.