Номер 1204, страница 223 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S = 1,0 \text{ дм}^2 = 1,0 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 0,01 \text{ м}^2$

$t = 3 \text{ с}$

$\alpha = 30^\circ$

График зависимости $B(t)$

Найти:

$\mathscr{E}_{\text{инд}}$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром:

$\mathscr{E}_{\text{инд}} = \left| -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \right|$

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую рамку площадью $S$, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией $B$, определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos\theta$

где $\theta$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости рамки. В условии задачи дан угол $\alpha$ между плоскостью рамки и направлением линий магнитной индукции. Этот угол и угол $\theta$ связаны соотношением: $\theta = 90^\circ - \alpha$.

$\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку площадь рамки $S$ и ее ориентация в магнитном поле (угол $\theta$) не меняются со временем, изменение магнитного потока происходит только за счет изменения модуля индукции магнитного поля $B$:

$\Delta\Phi = \Delta(B \cdot S \cdot \cos\theta) = S \cdot \cos\theta \cdot \Delta B$

Тогда формула для ЭДС индукции принимает вид:

$\mathscr{E}_{\text{инд}} = \left| -S \cdot \cos\theta \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = S \cdot \cos\theta \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right|$

Скорость изменения магнитной индукции $\frac{\Delta B}{\Delta t}$ найдем из графика. Нас интересует момент времени $t = 3 \text{ с}$. Этот момент времени принадлежит временному интервалу от $t_1 = 2 \text{ с}$ до $t_2 = 4 \text{ с}$. На этом интервале зависимость $B(t)$ является линейной, следовательно, скорость изменения магнитной индукции постоянна. Найдем ее как тангенс угла наклона графика к оси времени (с учетом знака).

В момент времени $t_1 = 2 \text{ с}$ индукция магнитного поля $B_1 = 0,4 \text{ Тл}$.

В момент времени $t_2 = 4 \text{ с}$ индукция магнитного поля $B_2 = 0 \text{ Тл}$.

Тогда скорость изменения индукции:

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{B_2 - B_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 \text{ Тл} - 0,4 \text{ Тл}}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{-0,4 \text{ Тл}}{2 \text{ с}} = -0,2 \text{ Тл/с}$

Модуль скорости изменения равен $\left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = 0,2 \text{ Тл/с}$.

Теперь можем рассчитать ЭДС индукции:

$\mathscr{E}_{\text{инд}} = S \cdot \cos\theta \cdot \left| \frac{\Delta B}{\Delta t} \right| = 0,01 \text{ м}^2 \cdot \cos(60^\circ) \cdot 0,2 \text{ Тл/с}$

Так как $\cos(60^\circ) = 0,5$, получаем:

$\mathscr{E}_{\text{инд}} = 0,01 \cdot 0,5 \cdot 0,2 = 0,001 \text{ В} = 1 \text{ мВ}$

Ответ: $\mathscr{E}_{\text{инд}} = 1 \text{ мВ}$.