Номер 1207, страница 224 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Материал провода - медь

Диаметр витка $D = 20$ см

Диаметр провода $d = 2,0$ мм

Сила тока в витке $I = 5,0$ А

Удельное сопротивление меди (справочное значение) $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м$

Переведем величины в систему СИ:

$D = 20 \, см = 0,20 \, м$

$d = 2,0 \, мм = 2,0 \cdot 10^{-3} \, м$

Найти:

$|\frac{\Delta B}{\Delta t}|$

Решение:

Изменение магнитного поля вызывает появление в витке индукционного тока. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$, возникающая в контуре, по модулю равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через этот контур:

$|\mathcal{E}_i| = |\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}|$

Магнитный поток через виток, плоскость которого перпендикулярна линиям магнитной индукции, определяется как $\Phi = B \cdot S$, где $B$ – модуль вектора магнитной индукции, а $S$ – площадь, ограниченная витком. Так как площадь витка $S$ постоянна, то изменение потока происходит за счет изменения магнитной индукции $B$:

$|\mathcal{E}_i| = S \cdot |\frac{\Delta B}{\Delta t}|$

С другой стороны, по закону Ома для замкнутой цепи, сила индукционного тока $I$ определяется ЭДС индукции и сопротивлением витка $R$:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R}$, откуда $|\mathcal{E}_i| = I \cdot R$

Приравнивая два выражения для модуля ЭДС, получаем:

$S \cdot |\frac{\Delta B}{\Delta t}| = I \cdot R$

Отсюда можем выразить искомую величину – модуль скорости изменения индукции магнитного поля:

$|\frac{\Delta B}{\Delta t}| = \frac{I \cdot R}{S}$

Сопротивление $R$ провода, из которого сделан виток, найдем по формуле $R = \rho \frac{L}{S_{пр}}$, где $L$ – длина провода, а $S_{пр}$ – площадь его поперечного сечения.

Длина провода равна длине окружности витка: $L = \pi D$.

Площадь поперечного сечения провода: $S_{пр} = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Тогда сопротивление витка равно:

$R = \rho \frac{\pi D}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho D}{d^2}$

Площадь, ограниченная витком, равна: $S = \pi (\frac{D}{2})^2 = \frac{\pi D^2}{4}$.

Подставим выражения для $R$ и $S$ в формулу для $|\frac{\Delta B}{\Delta t}|$:

$|\frac{\Delta B}{\Delta t}| = \frac{I \cdot \frac{4 \rho D}{d^2}}{\frac{\pi D^2}{4}} = \frac{I \cdot 4 \rho D}{d^2} \cdot \frac{4}{\pi D^2} = \frac{16 I \rho}{\pi d^2 D}$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

$|\frac{\Delta B}{\Delta t}| = \frac{16 \cdot 5,0 \, А \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \, Ом \cdot м}{\pi \cdot (2,0 \cdot 10^{-3} \, м)^2 \cdot 0,20 \, м} = \frac{16 \cdot 5,0 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8}}{\pi \cdot 4,0 \cdot 10^{-6} \cdot 0,20} \, \frac{Тл}{с} = \frac{136 \cdot 10^{-8}}{0,8 \pi \cdot 10^{-6}} \, \frac{Тл}{с} \approx \frac{170 \cdot 10^{-2}}{\pi} \, \frac{Тл}{с} \approx 0,54 \, \frac{Тл}{с}$

Ответ: $|\frac{\Delta B}{\Delta t}| \approx 0,54 \, \frac{Тл}{с}$.