Номер 1211, страница 224 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,2 \text{ м}$

$R = 1,0 \text{ Ом}$

$\alpha = 180^\circ$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$

Перевод в систему СИ:

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 10 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = 0,01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Найти:

$I_{\text{инд}} - ?$

Решение:

Общая длина провода $l$ складывается из длин окружностей двух колец радиусами $r_1$ и $r_2$:

$l = 2\pi r_1 + 2\pi r_2$

По условию задачи, отношение радиусов $r_1 : r_2 = 1 : 2$, что означает $r_2 = 2r_1$. Подставим это соотношение в формулу для длины провода:

$l = 2\pi r_1 + 2\pi (2r_1) = 2\pi r_1 + 4\pi r_1 = 6\pi r_1$

Отсюда мы можем выразить радиусы колец через длину провода:

$r_1 = \frac{l}{6\pi}$

$r_2 = 2r_1 = \frac{2l}{6\pi} = \frac{l}{3\pi}$

Когда виток в форме «восьмерки» помещают в однородное магнитное поле, векторы нормалей к плоскостям колец направлены в противоположные стороны (так как одно кольцо повернуто на $180^\circ$). Если вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости витка, то магнитные потоки через кольца будут вычитаться. Суммарный магнитный поток $\Phi$ через виток равен:

$\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = B \cdot S_2 - B \cdot S_1 = B(S_2 - S_1)$

где $S_1 = \pi r_1^2$ и $S_2 = \pi r_2^2$ — площади колец.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, возникающая ЭДС индукции $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{\Delta(B(S_2 - S_1))}{\Delta t}$

Поскольку площади колец постоянны, а изменяется только магнитное поле, то:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = -(S_2 - S_1) \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Модуль ЭДС индукции равен: $|\mathcal{E}_{\text{инд}}| = (S_2 - S_1) \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|$, так как $S_2 > S_1$.

Найдем разность площадей, подставив выражения для радиусов:

$S_2 - S_1 = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi\left(\left(\frac{l}{3\pi}\right)^2 - \left(\frac{l}{6\pi}\right)^2\right) = \pi\left(\frac{l^2}{9\pi^2} - \frac{l^2}{36\pi^2}\right)$

$S_2 - S_1 = \pi\left(\frac{4l^2 - l^2}{36\pi^2}\right) = \pi\frac{3l^2}{36\pi^2} = \frac{l^2}{12\pi}$

Подставим числовые значения:

$S_2 - S_1 = \frac{(1,2 \text{ м})^2}{12\pi} = \frac{1,44 \text{ м}^2}{12\pi} = \frac{0,12}{\pi} \text{ м}^2$

Теперь можем рассчитать модуль ЭДС индукции:

$|\mathcal{E}_{\text{инд}}| = \frac{0,12}{\pi} \text{ м}^2 \cdot 0,01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = \frac{0,0012}{\pi} \text{ В} \approx 0,000382 \text{ В}$

Силу индукционного тока $I_{\text{инд}}$ находим по закону Ома для полной цепи:

$I_{\text{инд}} = \frac{|\mathcal{E}_{\text{инд}}|}{R}$

Подставим значения:

$I_{\text{инд}} = \frac{0,000382 \text{ В}}{1,0 \text{ Ом}} \approx 0,000382 \text{ А}$

Выразим ответ в миллиамперах и округлим до двух значащих цифр, как в условии задачи:

$I_{\text{инд}} \approx 0,38 \text{ мА}$

Ответ: $I_{\text{инд}} \approx 0,38 \text{ мА}$.