Номер 1217, страница 226 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальный заряд в одиночном витке, $q = 90$ мкКл
Радиус одиночного витка: $R$
Радиус первого кольца «восьмерки», $R_1 = \frac{R}{3}$
Радиус второго кольца «восьмерки», $R_2 = \frac{2R}{3}$
Угол поворота верхнего кольца во втором случае, $\alpha = 180^{\circ}$

$q = 90 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Заряды $q_1$ и $q_2$, прошедшие по проводникам в случаях а и б.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через поверхность, ограниченную этим контуром: $$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} $$ Индукционный ток в витке равен $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{эл}}$, где $R_{эл}$ — сопротивление витка.

Заряд $dq$, проходящий через поперечное сечение проводника за время $dt$, равен $dq = I dt$. Тогда полный заряд $q$, прошедший по витку за время изменения магнитного поля, составляет: $$ q = \int I dt = \int \frac{\mathcal{E}}{R_{эл}} dt = \frac{1}{R_{эл}} \int \left(-\frac{d\Phi}{dt}\right) dt = -\frac{\Delta\Phi}{R_{эл}} $$ Величина прошедшего заряда пропорциональна изменению магнитного потока: $$ q = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{эл}} $$ Поскольку магнитное поле изменяется от 0 до некоторого значения $B$, то $\Delta\Phi = B \cdot S_{эфф}$, где $S_{эфф}$ — эффективная площадь контура, перпендикулярная линиям магнитной индукции.

Таким образом, прошедший заряд прямо пропорционален эффективной площади контура: $$ q = \frac{B}{R_{эл}} S_{эфф} = C \cdot S_{эфф} $$ где $C = \frac{B}{R_{эл}}$ — константа, зависящая от условий опыта (изменения поля и сопротивления проводника), которые одинаковы во всех случаях.

1. Начальные условия (одиночный виток радиусом R)
Площадь витка $S = \pi R^2$.
Прошедший заряд $q = C \cdot S = C \pi R^2$.
Отсюда мы можем выразить константу $C$: $$ C = \frac{q}{\pi R^2} $$

2. Случай а (рис. 169, а)
Виток согнут в «восьмерку». Стрелки указывают положительное направление обхода контура. В случае а направления обхода в двух кольцах противоположны (в одном по часовой стрелке, в другом — против). Это означает, что магнитные потоки, создаваемые внешним полем через эти два кольца, вычитаются. Эффективная площадь $S_{эфф,1}$ равна разности площадей большего и меньшего колец.

Площадь меньшего кольца: $S_1 = \pi R_1^2 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$.
Площадь большего кольца: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi \left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{4\pi R^2}{9}$.
Эффективная площадь: $$ S_{эфф,1} = S_2 - S_1 = \frac{4\pi R^2}{9} - \frac{\pi R^2}{9} = \frac{3\pi R^2}{9} = \frac{\pi R^2}{3} $$ Заряд $q_1$, прошедший по проводнику в этом случае: $$ q_1 = C \cdot S_{эфф,1} = \left(\frac{q}{\pi R^2}\right) \cdot \left(\frac{\pi R^2}{3}\right) = \frac{q}{3} $$ $$ q_1 = \frac{90 \text{ мкКл}}{3} = 30 \text{ мкКл} $$

3. Случай б (рис. 169, б)
Верхнее кольцо повернули на 180°. Теперь направления обхода в обоих кольцах совпадают (например, оба по часовой стрелке). Это означает, что магнитные потоки через кольца складываются. Эффективная площадь $S_{эфф,2}$ равна сумме площадей колец. $$ S_{эфф,2} = S_1 + S_2 = \frac{\pi R^2}{9} + \frac{4\pi R^2}{9} = \frac{5\pi R^2}{9} $$ Заряд $q_2$, прошедший по проводнику в этом случае: $$ q_2 = C \cdot S_{эфф,2} = \left(\frac{q}{\pi R^2}\right) \cdot \left(\frac{5\pi R^2}{9}\right) = \frac{5q}{9} $$ $$ q_2 = \frac{5 \cdot 90 \text{ мкКл}}{9} = 5 \cdot 10 \text{ мкКл} = 50 \text{ мкКл} $$

Ответ: в первом случае по проводнику прошел заряд $q_1 = 30$ мкКл, во втором случае — $q_2 = 50$ мкКл.