Номер 1210, страница 224 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R_1 = 1,0 \text{ Ом}$

$R_2 = 2,0 \text{ Ом}$

$R_3 = 3,0 \text{ Ом}$

$R_4 = 4,0 \text{ Ом}$

$B(t) = At$, где $A = 2,0 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

$U_1 = 0,10 \text{ В}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$S$

Решение:

При изменении магнитного поля, пронизывающего замкнутый контур, в нем возникает индукционный ток. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ \mathcal{E}_i $, возникающая в контуре, равна по модулю скорости изменения магнитного потока $ \Phi $ через этот контур:

$ |\mathcal{E}_i| = \left|-\frac{d\Phi}{dt}\right| $

Магнитный поток $ \Phi $ через плоский контур площадью $ S $, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией $ B $, линии которой перпендикулярны плоскости контура, определяется как:

$ \Phi = B \cdot S $

Поскольку модуль индукции магнитного поля изменяется по закону $ B = At $, то выражение для магнитного потока будет:

$ \Phi = (At) \cdot S = ASt $

Тогда модуль ЭДС индукции будет постоянен и равен:

$ |\mathcal{E}_i| = \left|\frac{d(ASt)}{dt}\right| = AS $

Проводники в контуре соединены последовательно, поэтому общее сопротивление контура $ R_{общ} $ равно сумме сопротивлений всех проводников:

$ R_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = 1,0 \text{ Ом} + 2,0 \text{ Ом} + 3,0 \text{ Ом} + 4,0 \text{ Ом} = 10,0 \text{ Ом} $

Согласно закону Ома для полной цепи, сила индукционного тока $ I $ в контуре равна:

$ I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R_{общ}} = \frac{AS}{R_{общ}} $

С другой стороны, по закону Ома для участка цепи, напряжение $ U_1 $ на проводнике с сопротивлением $ R_1 $ связано с силой тока $ I $ соотношением:

$ U_1 = I \cdot R_1 $

Отсюда можно выразить силу тока:

$ I = \frac{U_1}{R_1} $

Приравняем два выражения для силы тока:

$ \frac{AS}{R_{общ}} = \frac{U_1}{R_1} $

Выразим из этого уравнения искомую площадь контура $ S $:

$ S = \frac{U_1 \cdot R_{общ}}{A \cdot R_1} $

Подставим числовые значения:

$ S = \frac{0,10 \text{ В} \cdot 10,0 \text{ Ом}}{2,0 \frac{\text{Тл}}{\text{с}} \cdot 1,0 \text{ Ом}} = \frac{1,0}{2,0} \frac{\text{В} \cdot \text{с}}{\text{Тл}} = 0,5 \text{ м}^2 $

Ответ: $ S = 0,5 \text{ м}^2 $.