Номер 1216, страница 225 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина каждого проводника: $l$

Сопротивление каждого проводника: $R$

Количество проводников: $N=4$

Индукция магнитного поля: $B$

Начальная форма контура: квадрат

Конечная форма контура: прямой проводник (площадь равна нулю)

Найти:

Заряд, прошедший через гальванометр: $q$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока $\Phi$, пронизывающего замкнутый контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$, равная скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_{i} = - \frac{d\Phi}{dt}$

Индуцированный ток $I$ в контуре, согласно закону Ома для полной цепи, равен:

$I = \frac{\mathcal{E}_{i}}{R_{полн}}$

где $R_{полн}$ — полное сопротивление контура. В данном случае контур состоит из четырех одинаковых проводников сопротивлением $R$ каждый, соединенных последовательно. Следовательно, полное сопротивление контура:

$R_{полн} = 4R$

Заряд $dq$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $dt$, определяется как $dq = I dt$. Подставив выражения для тока и ЭДС, получим:

$dq = \frac{\mathcal{E}_{i}}{R_{полн}} dt = -\frac{1}{R_{полн}} \frac{d\Phi}{dt} dt = -\frac{d\Phi}{R_{полн}}$

Чтобы найти полный заряд $q$, прошедший через гальванометр за все время деформации контура, нужно проинтегрировать это выражение. В результате получаем, что искомый заряд равен отношению модуля полного изменения магнитного потока к полному сопротивлению цепи:

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R_{полн}} = \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{R_{полн}}$

где $\Phi_1$ — начальный магнитный поток, а $\Phi_2$ — конечный магнитный поток.

Магнитный поток определяется формулой $\Phi = B S \cos{\alpha}$, где $S$ — площадь контура, а $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура. По условию, поле перпендикулярно плоскости квадрата, поэтому $\cos{\alpha} = 1$.

В начальном состоянии контур представляет собой квадрат со стороной $l$. Его площадь равна:

$S_1 = l^2$

Начальный магнитный поток через контур:

$\Phi_1 = B \cdot S_1 = B l^2$

В конечном состоянии квадрат растягивают в прямой проводник. Площадь, охватываемая контуром, становится равной нулю:

$S_2 = 0$

Конечный магнитный поток через контур:

$\Phi_2 = B \cdot S_2 = 0$

Изменение магнитного потока равно:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = 0 - B l^2 = -B l^2$

Тогда заряд $q$, прошедший через гальванометр, по модулю равен:

$q = \frac{|-B l^2|}{4R} = \frac{B l^2}{4R}$

Ответ: $q = \frac{B l^2}{4R}$