Номер 1214, страница 225 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Индукция магнитного поля: $B$

Диаметр катушки: $d$

Угол поворота катушки: $\alpha = 180°$

Площадь поперечного сечения проволоки: $S$

Удельное сопротивление проволоки: $\rho$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Заряд, прошедший по катушке: $q$

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока через замкнутый контур в нем возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}_i$, равная скорости изменения магнитного потока:

$\mathcal{E}_i = - \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Эта ЭДС создает в катушке индукционный ток $I$. По закону Ома для замкнутой цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}_i}{R} = -\frac{1}{R} \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

где $R$ – сопротивление катушки.

Сила тока также определяется как заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени: $I = \frac{q}{\Delta t}$.

Приравнивая два выражения для силы тока, получаем:

$\frac{q}{\Delta t} = -\frac{1}{R} \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Отсюда находим заряд $q$, который прошел по виткам катушки за время $\Delta t$ (время поворота):

$q = -\frac{\Delta\Phi}{R}$

Так как нас интересует величина заряда, мы будем использовать модуль изменения магнитного потока:

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R}$

Найдем изменение магнитного потока $\Delta\Phi$. Магнитный поток через контур определяется формулой:

$\Phi = B \cdot A \cdot \cos\theta$

где $A$ – площадь контура, а $\theta$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура.

Площадь катушки (круга) равна $A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

В начальном положении плоскость катушки перпендикулярна линиям индукции, значит, нормаль к плоскости катушки параллельна вектору $\vec{B}$, то есть начальный угол $\theta_1 = 0°$.

Начальный магнитный поток:

$\Phi_1 = B \cdot A \cdot \cos(0°) = B \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot 1 = \frac{\pi d^2 B}{4}$

Катушку поворачивают на угол $\alpha = 180°$. Конечный угол между нормалью и вектором $\vec{B}$ будет $\theta_2 = \theta_1 + 180° = 180°$.

Конечный магнитный поток:

$\Phi_2 = B \cdot A \cdot \cos(180°) = B \cdot \frac{\pi d^2}{4} \cdot (-1) = -\frac{\pi d^2 B}{4}$

Изменение магнитного потока:

$\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -\frac{\pi d^2 B}{4} - \frac{\pi d^2 B}{4} = -\frac{2\pi d^2 B}{4} = -\frac{\pi d^2 B}{2}$

Модуль изменения потока: $|\Delta\Phi| = \frac{\pi d^2 B}{2}$.

Теперь найдем сопротивление $R$ катушки. Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $L$ – длина проводника (длина окружности катушки), $S$ – площадь его поперечного сечения. Длина проводника равна $L = \pi d$.

Тогда сопротивление катушки:

$R = \frac{\rho \pi d}{S}$

Подставим выражения для $|\Delta\Phi|$ и $R$ в формулу для заряда $q$:

$q = \frac{|\Delta\Phi|}{R} = \frac{\frac{\pi d^2 B}{2}}{\frac{\rho \pi d}{S}} = \frac{\pi d^2 B}{2} \cdot \frac{S}{\rho \pi d} = \frac{dBS}{2\rho}$

Ответ: $q = \frac{dBS}{2\rho}$