Номер 1220, страница 226 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$N = 1.0 \cdot 10^3$

$S = 0.20 \text{ мм}^2$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$

$D = 5.0 \text{ см}$

Проволока медная ($\rho = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м)

$S = 0.20 \text{ мм}^2 = 0.20 \cdot (10^{-3})^2 \text{ м}^2 = 2.0 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}} = 10 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = 10^{-2} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

$D = 5.0 \text{ см} = 5.0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$P$

Решение:

Мощность индукционного тока $P$, выделяемая в замкнутом контуре (соленоиде), находится по формуле, следующей из закона Джоуля-Ленца:

$P = \frac{\mathcal{E}^2}{R}$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции, а $R$ — электрическое сопротивление соленоида.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в соленоиде, состоящем из $N$ витков, равна:

$\mathcal{E} = N \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|$

Здесь $\Phi$ — магнитный поток через один виток. Он определяется как $\Phi = B A \cos{\alpha}$, где $A$ — площадь витка, а $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витка. По условию, ось соленоида параллельна линиям индукции, следовательно, $\alpha = 0$ и $\cos{\alpha} = 1$.

Площадь одного витка соленоида $A = \frac{\pi D^2}{4}$.

Тогда скорость изменения магнитного потока через один виток будет:

$\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Delta (B A)}{\Delta t} = A \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Подставляя это в формулу для ЭДС, получаем:

$\mathcal{E} = N \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Сопротивление $R$ всей медной проволоки соленоида найдем по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление меди, $L$ — общая длина проволоки, $S$ — площадь ее поперечного сечения. Общая длина проволоки равна произведению длины одного витка ($\pi D$) на количество витков $N$:

$L = N \pi D$

Тогда сопротивление соленоида:

$R = \rho \frac{N \pi D}{S}$

Теперь подставим выражения для $\mathcal{E}$ и $R$ в формулу для мощности:

$P = \frac{\left(N \frac{\pi D^2}{4} \frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2}{\rho \frac{N \pi D}{S}} = \frac{N^2 \pi^2 D^4}{16} \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \frac{S}{\rho N \pi D}$

После сокращения получаем итоговую расчетную формулу:

$P = \frac{N \pi D^3 S}{16 \rho} \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$P = \frac{1.0 \cdot 10^3 \cdot \pi \cdot (5.0 \cdot 10^{-2})^3 \cdot 2.0 \cdot 10^{-7}}{16 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8}} \left(10^{-2}\right)^2 = \frac{10^3 \cdot \pi \cdot 125 \cdot 10^{-6} \cdot 2.0 \cdot 10^{-7}}{27.2 \cdot 10^{-8}} \cdot 10^{-4}$

$P = \frac{250 \pi \cdot 10^{-10}}{27.2 \cdot 10^{-8}} \cdot 10^{-4} = \frac{250 \pi}{27.2} \cdot 10^{-6} \approx 28.87 \cdot 10^{-6} \text{ Вт}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$P \approx 29 \cdot 10^{-6} \text{ Вт} = 29 \text{ мкВт}$

Ответ: мощность индукционного тока в соленоиде составляет примерно $29$ мкВт.