Номер 1225, страница 228 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 60$ см
$\alpha = 30°$
$m = 1,0$ г
$R = 0,80$ Ом
$B = 40$ мТл
$\mu = 0,40$
Примем ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$l = 0,60$ м
$m = 1,0 \times 10^{-3}$ кг
$R = 0,80$ Ом
$B = 40 \times 10^{-3}$ Тл $= 0,040$ Тл

Найти:

а) $v$ — максимальная скорость, при условии что $\vec{B}$ перпендикулярно плоскости движения.
б) $v$ — максимальная скорость, при условии что $\vec{B}$ направлено вертикально.

Решение:

Проводник достигает максимальной (установившейся) скорости $v$, когда его ускорение становится равным нулю. В этот момент сумма всех сил, действующих на проводник в проекции на направление движения, равна нулю.

а) Магнитное поле перпендикулярно плоскости движения.

На проводник действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ и сила Ампера $\vec{F}_A$.

Введем систему координат: ось Ox направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно ей вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси для случая равномерного движения ($a=0$).

Проекция на ось Oy: $N - mg \cos\alpha = 0$. Отсюда сила нормальной реакции: $N = mg \cos\alpha$.

Сила трения скольжения, направленная против движения (вверх по плоскости): $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

При движении проводника со скоростью $v$ в магнитном поле в нем возникает ЭДС индукции. Поскольку вектор $\vec{B}$ перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$ и самому проводнику, модуль ЭДС равен: $\mathcal{E} = B l v$.

По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток в проводнике: $I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v}{R}$.

На проводник с током действует сила Ампера $F_A = I l B = \frac{B^2 l^2 v}{R}$. По правилу Ленца, эта сила препятствует движению, то есть направлена вверх вдоль наклонной плоскости.

Проекция на ось Ox: $mg \sin\alpha - F_{тр} - F_A = 0$.

Подставим выражения для сил: $mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha - \frac{B^2 l^2 v}{R} = 0$.

Выразим из этого уравнения максимальную скорость $v$:
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = mg (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$
$v = \frac{mgR (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{B^2 l^2}$.

Произведем вычисления:
$v = \frac{1.0 \times 10^{-3} \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times 0.80 \text{ Ом} \times (\sin30° - 0.40 \times \cos30°)}{(0.040 \text{ Тл})^2 \times (0.60 \text{ м})^2}$
$v = \frac{0.00784 \times (0.5 - 0.40 \times \frac{\sqrt{3}}{2})}{0.0016 \times 0.36} = \frac{0.00784 \times (0.5 - 0.3464)}{0.000576} = \frac{0.001204}{0.000576} \approx 2.09 \text{ м/с}$.

С учетом значащих цифр исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $v = \frac{mgR (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{B^2 l^2} \approx 2.1 \text{ м/с}$.

б) Магнитное поле направлено вертикально.

Направление магнитного поля влияет на величину ЭДС индукции и на величину и направление силы Ампера.

ЭДС индукции возникает из-за изменения магнитного потока $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S}$. Вектор площади контура $\vec{S}$ перпендикулярен наклонной плоскости, поэтому угол между $\vec{B}$ и $\vec{S}$ равен $\alpha$. $\Phi = B S \cos\alpha$. Площадь $S=lx$, где $x$ - путь проводника.
$\mathcal{E} = |\frac{d\Phi}{dt}| = |\frac{d(Blx\cos\alpha)}{dt}| = Bl\cos\alpha \frac{dx}{dt} = Blv\cos\alpha$.

Индукционный ток в проводнике: $I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v \cos\alpha}{R}$.

Сила Ампера $\vec{F}_A = I(\vec{l} \times \vec{B})$. Проводник ($\vec{l}$) горизонтален, поле ($\vec{B}$) вертикально, угол между ними $90°$. Модуль силы: $F_A = I l B = \frac{B^2 l^2 v \cos\alpha}{R}$.
Направление силы $\vec{F}_A$ горизонтально и перпендикулярно проводнику (по правилу левой руки).

Разложим горизонтальную силу Ампера на компоненты в нашей системе координат.
Компонента, направленная вверх вдоль плоскости (против оси Ox): $F_{A,x} = F_A \cos\alpha$.
Компонента, направленная перпендикулярно плоскости "внутрь" (вдоль отрицательного направления оси Oy): $F_{A,y} = F_A \sin\alpha$.

Запишем уравнения равновесия сил при $a=0$.
Проекция на ось Oy: $N - mg \cos\alpha - F_{A,y} = 0 \implies N = mg \cos\alpha + F_A \sin\alpha$.
Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu (mg \cos\alpha + F_A \sin\alpha)$.

Проекция на ось Ox: $mg \sin\alpha - F_{тр} - F_{A,x} = 0$.

Подставим выражения для сил:
$mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + F_A \sin\alpha) - F_A \cos\alpha = 0$
$mg (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) = F_A (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$.

Подставим выражение для $F_A$ и выразим скорость $v$:
$mg (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) = \frac{B^2 l^2 v \cos\alpha}{R} (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)$
$v = \frac{mgR (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{B^2 l^2 \cos\alpha (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)} = \frac{mgR (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{B^2 l^2 (\cos^2\alpha + \mu \sin\alpha\cos\alpha)}$.

Произведем вычисления:
Числитель такой же, как в пункте а): $0.00784 \times 0.1536 \approx 0.001204$.
Знаменатель: $B^2 l^2 (\cos^2 30° + 0.40 \sin30° \cos30°) = 0.000576 \times ((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0.40 \times 0.5 \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$= 0.000576 \times (0.75 + 0.1732) = 0.000576 \times 0.9232 \approx 0.0005318$.

$v = \frac{0.001204}{0.0005318} \approx 2.264 \text{ м/с}$.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $v \approx 2.3 \text{ м/с}$.

Ответ: $v = \frac{mgR (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{B^2 l^2 (\cos^2\alpha + \mu \sin\alpha\cos\alpha)} \approx 2.3 \text{ м/с}$.