Номер 1228, страница 228 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость проводника: $v$
Угол: $\alpha$
Индукция магнитного поля: $B$
Сопротивление единицы длины проводника EF: $R_1$
Длина проводника AC: $l$

Найти:

Количество теплоты: $Q$

Решение:

Рассмотрим произвольный момент времени, когда проводник EF находится на расстоянии $x$ от точки A. Поскольку проводник движется с постоянной скоростью $v$, его координата $x$ изменяется по закону $x = vt$. Проводник движется от $x=0$ (точка A) до $x=l$ (точка C).

В положении $x$ длина движущейся части проводника EF, которая замыкает контур AFE, определяется из прямоугольного треугольника AFE: $y = EF = AF \cdot \tan(\alpha) = x \tan(\alpha)$.

Сопротивление проводника EF пропорционально его длине $y$. Сопротивление неподвижных проводников AC и AD считаем пренебрежимо малым. Таким образом, полное сопротивление цепи в данный момент времени равно: $R(x) = R_1 \cdot y = R_1 x \tan(\alpha)$.

При движении проводника в магнитном поле возникает ЭДС индукции. Ее можно рассчитать по формуле для ЭДС в движущемся проводнике $\mathcal{E} = Bvy_{\perp}$, где $y_{\perp}$ — длина проводника, перпендикулярная вектору скорости. В нашем случае проводник EF перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$, поэтому: $\mathcal{E}(x) = Bvy = Bv(x \tan(\alpha))$.

По закону Ома для полной цепи, сила тока в контуре в данный момент времени составляет: $I(x) = \frac{\mathcal{E}(x)}{R(x)} = \frac{Bvx \tan(\alpha)}{R_1 x \tan(\alpha)} = \frac{Bv}{R_1}$. Из этого следует, что сила тока в цепи является постоянной величиной на протяжении всего движения проводника.

Мгновенная тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, определяется законом Джоуля-Ленца: $P(x) = I^2 R(x) = \left(\frac{Bv}{R_1}\right)^2 (R_1 x \tan(\alpha)) = \frac{B^2 v^2}{R_1} x \tan(\alpha)$.

Для нахождения общего количества теплоты $Q$, выделившегося за всё время движения, необходимо проинтегрировать мгновенную мощность по времени от $0$ до $T = l/v$. Однако удобнее провести интегрирование по координате $x$ от $0$ до $l$.

За бесконечно малый промежуток времени $dt$ проводник смещается на расстояние $dx = v dt$, откуда $dt = dx/v$. За это время выделяется количество теплоты $dQ$: $dQ = P(x) dt = P(x) \frac{dx}{v}$.

Подставим выражение для мощности $P(x)$: $dQ = \left(\frac{B^2 v^2}{R_1} x \tan(\alpha)\right) \frac{dx}{v} = \frac{B^2 v \tan(\alpha)}{R_1} x dx$.

Полное количество теплоты $Q$ найдем, проинтегрировав это выражение в пределах от $x=0$ до $x=l$: $Q = \int_{0}^{l} dQ = \int_{0}^{l} \frac{B^2 v \tan(\alpha)}{R_1} x dx$.

Вынеся постоянные множители за знак интеграла, получим: $Q = \frac{B^2 v \tan(\alpha)}{R_1} \int_{0}^{l} x dx = \frac{B^2 v \tan(\alpha)}{R_1} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{B^2 v \tan(\alpha)}{R_1} \left( \frac{l^2}{2} - 0 \right)$.

Окончательно получаем: $Q = \frac{B^2 v l^2 \tan(\alpha)}{2R_1}$.

Ответ: $Q = \frac{B^2 v l^2 \tan(\alpha)}{2R_1}$.