Номер 1230, страница 229 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$\mathcal{E}_{\text{инд}} = 0,30 \text{ В}$
$B = 0,20 \text{ Тл}$

Найти:

$\omega$

Решение

При вращении металлического стержня в однородном магнитном поле в его свободных электронах возникает сила Лоренца, которая заставляет их перемещаться к одному из концов стержня. Это приводит к возникновению разности потенциалов, то есть ЭДС индукции $\mathcal{E}_{\text{инд}}$.

Стержень вращается вокруг одного из своих концов, поэтому разные его точки движутся с разной линейной скоростью. Линейная скорость $v$ точки стержня, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v = \omega r$.

Рассмотрим малый элемент стержня длиной $dr$, находящийся на расстоянии $r$ от оси вращения. Скорость этого элемента равна $v = \omega r$. ЭДС, наводимая в этом элементе, равна:

$d\mathcal{E} = B v dr = B (\omega r) dr$

Чтобы найти полную ЭДС индукции во всем стержне, необходимо проинтегрировать это выражение по всей длине стержня от оси вращения ($r=0$) до его конца ($r=l$):

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = \int_{0}^{l} d\mathcal{E} = \int_{0}^{l} B \omega r dr$

Поскольку величины $B$ и $\omega$ постоянны, их можно вынести за знак интеграла:

$\mathcal{E}_{\text{инд}} = B \omega \int_{0}^{l} r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = B \omega \left( \frac{l^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{B \omega l^2}{2}$

Из полученной формулы выразим искомую угловую скорость $\omega$:

$\omega = \frac{2 \mathcal{E}_{\text{инд}}}{B l^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\omega = \frac{2 \cdot 0,30 \text{ В}}{0,20 \text{ Тл} \cdot (0,2 \text{ м})^2} = \frac{0,6}{0,20 \cdot 0,04} = \frac{0,6}{0,008} = 75 \text{ рад/с}$

Ответ: модуль угловой скорости равен $75 \text{ рад/с}$.