Номер 1229, страница 229 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ l = 0,10 $ м

$ B = 1,0 $ Тл

$ R = 3,0 $ Ом

$ R_1 = 1,0 $ Ом

$ R_2 = 2,0 $ Ом

$ v_1 = 0,30 $ м/с

$ v_2 = 0,20 $ м/с

Найти:

$ I $ - ?

Решение:

При движении проводников в магнитном поле в них возникает ЭДС индукции. Для первого и второго движущихся проводников ЭДС индукции $ \mathcal{E}_1 $ и $ \mathcal{E}_2 $ соответственно равны:

$ \mathcal{E}_1 = B \cdot l \cdot v_1 $

$ \mathcal{E}_2 = B \cdot l \cdot v_2 $

Рассчитаем значения ЭДС:

$ \mathcal{E}_1 = 1,0 \text{ Тл} \cdot 0,10 \text{ м} \cdot 0,30 \text{ м/с} = 0,030 \text{ В} $

$ \mathcal{E}_2 = 1,0 \text{ Тл} \cdot 0,10 \text{ м} \cdot 0,20 \text{ м/с} = 0,020 \text{ В} $

Электрическая схема представляет собой два источника ЭДС ($ \mathcal{E}_1 $ и $ \mathcal{E}_2 $) с внутренними сопротивлениями ($ R_1 $ и $ R_2 $), подключенных параллельно к общей нагрузке — неподвижному проводнику с сопротивлением $ R $. Так как проводники движутся в разные стороны от неподвижного, то, согласно правилу Ленца (или правилу правой руки), ЭДС направлены так, что токи, которые они создают в неподвижном проводнике, складываются.

Обозначим ток через неподвижный проводник как $ I $, а токи в ветвях с движущимися проводниками как $ I_1 $ и $ I_2 $. Согласно первому правилу Кирхгофа для узла:

$ I = I_1 + I_2 $

Напряжение на неподвижном проводнике (нагрузке) равно $ U = I \cdot R $. Это же напряжение приложено к обоим параллельным ветвям. Согласно закону Ома для полной цепи для каждой из ветвей:

$ \mathcal{E}_1 = I_1 R_1 + U \implies I_1 = \frac{\mathcal{E}_1 - U}{R_1} $

$ \mathcal{E}_2 = I_2 R_2 + U \implies I_2 = \frac{\mathcal{E}_2 - U}{R_2} $

Подставим выражения для $ I_1 $ и $ I_2 $ в первое уравнение и заменим $ U $ на $ I \cdot R $:

$ I = \frac{\mathcal{E}_1 - I \cdot R}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2 - I \cdot R}{R_2} $

Решим это уравнение относительно $ I $:

$ I = \frac{\mathcal{E}_1}{R_1} - \frac{I \cdot R}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} - \frac{I \cdot R}{R_2} $

$ I \left(1 + \frac{R}{R_1} + \frac{R}{R_2}\right) = \frac{\mathcal{E}_1}{R_1} + \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} $

$ I \left(\frac{R_1 R_2 + R R_2 + R R_1}{R_1 R_2}\right) = \frac{\mathcal{E}_1 R_2 + \mathcal{E}_2 R_1}{R_1 R_2} $

Отсюда получаем формулу для тока $ I $:

$ I = \frac{\mathcal{E}_1 R_2 + \mathcal{E}_2 R_1}{R_1 R_2 + R R_1 + R R_2} $

Подставим числовые значения:

$ I = \frac{0,030 \text{ В} \cdot 2,0 \text{ Ом} + 0,020 \text{ В} \cdot 1,0 \text{ Ом}}{1,0 \text{ Ом} \cdot 2,0 \text{ Ом} + 3,0 \text{ Ом} \cdot 1,0 \text{ Ом} + 3,0 \text{ Ом} \cdot 2,0 \text{ Ом}} $

$ I = \frac{0,060 + 0,020}{2,0 + 3,0 + 6,0} = \frac{0,080}{11,0} \text{ А} \approx 0,00727 \text{ А} $

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$ I \approx 0,0073 \text{ А} $

Ответ: $ I \approx 0,0073 \text{ А} $.