Номер 1235, страница 230 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 10 \text{ см}$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 5,0 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$

$\Delta t_1 = 40 \text{ с}$

$\frac{R}{l} = 1,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}$

Рамка легкая, $m \approx 0$

Перевод в систему СИ:

$a = 0,1 \text{ м}$

$\frac{\Delta B}{\Delta t} = 5,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Найти:

$F_{упр}$ - ?

Решение:

Изменение магнитного потока через контур рамки приводит к возникновению в ней индукционного тока. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ε$ равна скорости изменения магнитного потока $Φ$:

$ε = \left| -\frac{\Delta Φ}{\Delta t} \right|$

Магнитный поток $Φ$ создается полем, пронизывающим верхнюю половину рамки. Площадь этой части рамки $S$ равна:

$S = a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2}$

Так как площадь рамки постоянна, а изменяется только модуль индукции магнитного поля $B$, то ЭДС индукции можно найти как:

$ε = S \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t} = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Эта ЭДС создает в рамке индукционный ток $I$. Полное сопротивление рамки $R_{общ}$ можно найти, зная сопротивление единицы длины проводника $\frac{R}{l}$ и периметр рамки $L = 4a$:

$R_{общ} = \frac{R}{l} \cdot L = \frac{R}{l} \cdot 4a$

По закону Ома для полной цепи сила индукционного тока равна:

$I = \frac{ε}{R_{общ}} = \frac{\frac{a^2}{2} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}}{\frac{R}{l} \cdot 4a} = \frac{a}{8 \cdot \frac{R}{l}} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Силы, действующие на боковые (вертикальные) стороны рамки, направлены в противоположные стороны и компенсируют друг друга. Сила Ампера $F_A$ действует на верхнюю горизонтальную сторону рамки. По правилу Ленца, индукционный ток будет создавать магнитное поле, препятствующее изменению внешнего поля. Так как поле $B$ направлено "от нас" и его модуль увеличивается, индукционный ток будет направлен против часовой стрелки. Тогда по правилу левой руки сила Ампера, действующая на верхнюю сторону, направлена вертикально вниз.

Модуль силы Ампера зависит от мгновенного значения индукции магнитного поля $B(t)$:

$F_A(t) = I \cdot a \cdot B(t)$

Поскольку поле включается в момент $t=0$ и его индукция растет с постоянной скоростью, то в момент времени $t = \Delta t_1$ ее значение будет:

$B(\Delta t_1) = \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot \Delta t_1$

Рамка находится в равновесии, поэтому сила упругости нити $F_{упр}$ уравновешивает силу Ампера $F_A$ (весом рамки пренебрегаем, так как она "легкая").

$F_{упр} = F_A(\Delta t_1) = I \cdot a \cdot B(\Delta t_1)$

Подставим выражения для $I$ и $B(\Delta t_1)$:

$F_{упр} = \left(\frac{a}{8 \cdot \frac{R}{l}} \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}\right) \cdot a \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot \Delta t_1\right) = \frac{a^2}{8 \cdot \frac{R}{l}} \cdot \left(\frac{\Delta B}{\Delta t}\right)^2 \cdot \Delta t_1$

Выполним вычисления:

$F_{упр} = \frac{(0,1 \text{ м})^2}{8 \cdot 1,0 \frac{\text{Ом}}{\text{м}}} \cdot \left(5,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Тл}}{\text{с}}\right)^2 \cdot 40 \text{ с} = \frac{0,01}{8} \cdot (25 \cdot 10^{-6}) \cdot 40 \text{ Н}$

$F_{упр} = 0,00125 \cdot (1000 \cdot 10^{-6}) \text{ Н} = 1,25 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 1,25 \text{ мкН}$

Ответ: $F_{упр} = 1,25 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$.