Номер 1234, страница 230 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр кольца: $d$

Сопротивление кольца: $R$

Зависимость модуля индукции магнитного поля от высоты $H$: $B = B_0(1 + \alpha H)$

Масса кольца: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Модуль установившейся скорости падения кольца: $v$

Решение:

При падении кольца в неоднородном магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий кольцо. Согласно закону Фарадея, это изменение потока создает электродвижущую силу (ЭДС) индукции, которая, в свою очередь, порождает индукционный ток в кольце.

1. Найдем магнитный поток $\Phi_B$ через кольцо. Площадь кольца $S$ равна:

$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Магнитный поток через горизонтальную плоскость кольца на высоте $H$ равен:

$\Phi_B = B \cdot S = B_0(1 + \alpha H) \frac{\pi d^2}{4}$

2. Найдем ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}$. Она равна скорости изменения магнитного потока со знаком минус:

$\mathcal{E}_{ind} = - \frac{d\Phi_B}{dt}$

Поскольку $B_0, \alpha, d$ являются константами, производная по времени затрагивает только высоту $H(t)$:

$\mathcal{E}_{ind} = - \frac{d}{dt} \left( B_0(1 + \alpha H) \frac{\pi d^2}{4} \right) = - B_0 \frac{\pi d^2}{4} \alpha \frac{dH}{dt}$

Скорость падения кольца $v$ — это скорость уменьшения высоты, то есть $v = - \frac{dH}{dt}$. Отсюда $\frac{dH}{dt} = -v$. Подставим это в выражение для ЭДС:

$\mathcal{E}_{ind} = - B_0 \frac{\pi d^2}{4} \alpha (-v) = \frac{B_0 \pi d^2 \alpha v}{4}$

3. По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток $I$ в кольце равен:

$I = \frac{\mathcal{E}_{ind}}{R} = \frac{B_0 \pi d^2 \alpha v}{4R}$

4. На кольцо с током, находящееся в магнитном поле, действует сила Ампера. В неоднородном поле сила, действующая на замкнутый контур, может быть найдена по формуле $F_m = I S \frac{dB}{dH}$. Направление этой силы, согласно правилу Ленца, будет препятствовать падению кольца, то есть сила будет направлена вертикально вверх.

Найдем градиент магнитного поля по высоте:

$\frac{dB}{dH} = \frac{d}{dH} (B_0(1 + \alpha H)) = B_0 \alpha$

Тогда модуль силы Ампера равен:

$F_m = I \cdot S \cdot \frac{dB}{dH} = \left(\frac{B_0 \pi d^2 \alpha v}{4R}\right) \cdot \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \cdot (B_0 \alpha) = \frac{(B_0 \alpha)^2 (\pi d^2)^2 v}{16R}$

5. Установившаяся скорость $v$ достигается тогда, когда сила тяжести $F_g = mg$, действующая на кольцо вниз, уравновешивается силой Ампера $F_m$, действующей вверх.

$F_g = F_m$

$mg = \frac{(B_0 \alpha)^2 (\pi d^2)^2 v}{16R}$

6. Выразим из этого равенства установившуюся скорость $v$:

$v = \frac{16 mgR}{(B_0 \alpha)^2 (\pi d^2)^2} = \frac{16 mgR}{\pi^2 d^4 (B_0 \alpha)^2}$

Ответ: $v = \frac{16 mgR}{\pi^2 d^4 (B_0 \alpha)^2}$