Номер 1233, страница 230 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина пружины в недеформированном состоянии: $l$

Число витков: $N$

Радиус витков: $R$

Жесткость пружины: $k$

Масса груза: $m$

Сила тока: $I$

Найти:

Максимальное расстояние смещения груза: $x$

Решение:

Когда к пружине подвешивают груз и по ней пропускают электрический ток, груз смещается вниз на некоторое расстояние $x$ до нового положения равновесия. В этом положении на груз действуют три силы вдоль вертикальной оси:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз.

2. Сила упругости пружины $F_у = kx$, направленная вверх (согласно закону Гука).

3. Магнитная сила $F_м$ взаимодействия между витками пружины. Так как ток в соседних витках течет в одном направлении, витки притягиваются друг к другу. Эта сила сжимает пружину, следовательно, она направлена вверх.

Для нахождения магнитной силы рассмотрим пружину как соленоид. Энергия магнитного поля, создаваемого током $I$ в соленоиде, определяется его индуктивностью $L_{ind}$:

$W_м = \frac{1}{2} L_{ind} I^2$

Индуктивность соленоида длиной $L$ с площадью поперечного сечения $A=\pi R^2$ и числом витков $N$ равна:

$L_{ind} = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2}{L}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная. При растяжении пружины на величину $x$ ее общая длина становится $L = l+x$. Тогда энергия магнитного поля как функция от смещения $x$ имеет вид:

$W_м(x) = \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2(l+x)}$

Магнитная сила, действующая вдоль оси пружины, может быть найдена как производная энергии магнитного поля по смещению (при постоянном токе):

$F_м = \frac{d W_м(x)}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2(l+x)}\right) = -\frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2(l+x)^2}$

Знак «минус» указывает, что сила является сжимающей, то есть направлена против растяжения (вверх). Величина этой силы равна:

$|F_м| = \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2(l+x)^2}$

В положении равновесия сумма всех сил, действующих на груз, равна нулю. Выберем направление оси $Y$ вниз. Тогда условие равновесия в проекциях на эту ось запишется как:

$F_g - F_у - |F_м| = 0$

$mg - kx - \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2(l+x)^2} = 0$

Это уравнение является кубическим относительно $x$, и его точное решение в общем виде достаточно громоздко. В большинстве физических задач предполагается, что деформация пружины мала по сравнению с ее начальной длиной, то есть $x \ll l$. В рамках этого приближения можно считать $l+x \approx l$ в знаменателе выражения для магнитной силы, так как ее зависимость от $x$ слабая.

Применив это приближение, получим более простое уравнение:

$mg - kx - \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2l^2} \approx 0$

Теперь выразим из этого линейного уравнения искомое смещение $x$:

$kx \approx mg - \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2l^2}$

$x \approx \frac{mg}{k} - \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2kl^2}$

Термин "максимальное расстояние" в данном контексте интерпретируется как установившееся смещение груза в положении равновесия.

Ответ: Максимальное расстояние, на которое может сместиться груз, в предположении малости этого смещения по сравнению с длиной пружины, равно $x = \frac{mg}{k} - \frac{\mu_0 N^2 \pi R^2 I^2}{2kl^2}$.