Номер 1232, страница 229 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,10 \text{ кг}$
$l = 1,0 \text{ м}$
$k = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
$A = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$
$B = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,010 \text{ Тл}$

Найти:

$U_{max}$

Решение:

При движении металлического стержня в магнитном поле на его концах возникает разность потенциалов, равная ЭДС индукции. ЭДС индукции в проводнике длиной $l$, движущемся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, определяется формулой:

$\mathcal{E} = B l v \sin\alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором скорости $\vec{v}$. По условию, магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости колебаний, следовательно, вектор $\vec{B}$ перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$ стержня. Таким образом, $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

Тогда разность потенциалов на концах стержня равна:

$U = \mathcal{E} = B l v$

Максимальная разность потенциалов $U_{max}$ будет достигаться в моменты, когда скорость движения стержня максимальна, то есть $v = v_{max}$.

$U_{max} = B l v_{max}$

Стержень совершает гармонические колебания на пружине. Максимальная скорость при гармонических колебаниях связана с амплитудой $A$ и циклической (угловой) частотой $\omega$ соотношением:

$v_{max} = A \omega$

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим выражение для частоты в формулу для максимальной скорости, а затем в формулу для максимальной разности потенциалов:

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

$U_{max} = B l A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчеты.

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = \sqrt{\frac{10 \text{ Н/м}}{0,10 \text{ кг}}} = \sqrt{100 \text{ с}^{-2}} = 10 \text{ с}^{-1}$ (или $10 \text{ рад/с}$)

Вычислим максимальную скорость:

$v_{max} = 0,10 \text{ м} \cdot 10 \text{ с}^{-1} = 1,0 \text{ м/с}$

Вычислим максимальную разность потенциалов:

$U_{max} = 0,010 \text{ Тл} \cdot 1,0 \text{ м} \cdot 1,0 \text{ м/с} = 0,010 \text{ В}$

Переведем в милливольты для удобства:

$U_{max} = 0,010 \text{ В} = 10 \text{ мВ}$

Ответ: $U_{max} = 0,010 \text{ В}$ (или $10 \text{ мВ}$).