Номер 1238, страница 230 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр провода, $d = 0,20$ мм
Диаметр каркаса, $D = 5,0$ см
Индуктивность катушки, $L = 20$ мГн
Магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м

В системе СИ:
$d = 0,20 \cdot 10^{-3}$ м
$D = 5,0 \cdot 10^{-2}$ м
$L = 20 \cdot 10^{-3}$ Гн

Найти:

Число витков, $N$

Решение:

Индуктивность длинного соленоида (однослойной катушки) без сердечника определяется формулой: $L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}$, где $\mu_0$ — магнитная постоянная, $N$ — число витков, $S$ — площадь поперечного сечения катушки, $l$ — длина катушки.

Площадь поперечного сечения катушки, имеющей форму круга с диаметром $D$, равна: $S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$

Согласно условию, витки намотаны вплотную друг к другу, и толщиной изоляции можно пренебречь. Следовательно, длина катушки $l$ равна произведению числа витков $N$ на диаметр провода $d$: $l = N \cdot d$

Теперь подставим выражения для площади $S$ и длины $l$ в исходную формулу для индуктивности: $L = \mu_0 \frac{N^2 \cdot (\frac{\pi D^2}{4})}{N \cdot d} = \frac{\mu_0 \pi N D^2}{4d}$

Из полученного выражения выразим искомое число витков $N$: $N = \frac{4dL}{\mu_0 \pi D^2}$

Подставим числовые значения в СИ и произведем вычисления: $N = \frac{4 \cdot (0,20 \cdot 10^{-3} \, \text{м}) \cdot (20 \cdot 10^{-3} \, \text{Гн})}{(4\pi \cdot 10^{-7} \, \text{Гн/м}) \cdot \pi \cdot (5,0 \cdot 10^{-2} \, \text{м})^2}$

$N = \frac{16 \cdot 10^{-6}}{4\pi^2 \cdot 10^{-7} \cdot 25 \cdot 10^{-4}} = \frac{16 \cdot 10^{-6}}{100 \pi^2 \cdot 10^{-11}} = \frac{16 \cdot 10^{-6}}{\pi^2 \cdot 10^{-9}} = \frac{16 \cdot 10^3}{\pi^2}$

$N \approx \frac{16000}{9,87} \approx 1621,1$

Поскольку число витков — это целая величина, округляем полученное значение до ближайшего целого.

Ответ: необходимо намотать примерно 1621 виток.