Номер 1237, страница 230 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Индуктивность цепи $L = 2,0$ Гн

Закон изменения ЭДС самоиндукции: $\mathscr{E}_c(t) = A + Bt$

Коэффициент $A = 10$ В

Коэффициент $B = 4,0 \frac{В}{с}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Закон изменения силы тока $I(t)$.

Решение:

ЭДС самоиндукции $\mathscr{E}_c$, возникающая в контуре, определяется формулой Фарадея для явления самоиндукции:

$\mathscr{E}_c = -L \frac{dI}{dt}$

где $L$ – индуктивность контура, а $\frac{dI}{dt}$ – скорость изменения силы тока в нём.

Согласно условию задачи, ЭДС самоиндукции изменяется по закону:

$\mathscr{E}_c = A + Bt$

Приравнивая два выражения для $\mathscr{E}_c$, получаем дифференциальное уравнение для силы тока $I$:

$-L \frac{dI}{dt} = A + Bt$

Выразим из этого уравнения производную силы тока по времени:

$\frac{dI}{dt} = -\frac{A + Bt}{L}$

Для нахождения зависимости силы тока от времени $I(t)$, необходимо проинтегрировать полученное выражение. Разделим переменные:

$dI = -\frac{1}{L}(A + Bt)dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dI = \int -\frac{1}{L}(A + Bt)dt$

Выполнив интегрирование, получаем:

$I(t) = -\frac{1}{L} \left( \int A dt + \int Bt dt \right)$

$I(t) = -\frac{1}{L} \left( At + \frac{Bt^2}{2} \right) + C$

Здесь $C$ – постоянная интегрирования, которая имеет физический смысл силы тока в начальный момент времени, то есть при $t=0$. Обозначим эту начальную силу тока как $I_0$.

Тогда закон изменения силы тока в цепи имеет вид:

$I(t) = I_0 - \frac{A}{L}t - \frac{B}{2L}t^2$

Подставим в это выражение числовые значения из условия задачи:

$I(t) = I_0 - \frac{10 \text{ В}}{2,0 \text{ Гн}}t - \frac{4,0 \text{ В/с}}{2 \cdot 2,0 \text{ Гн}}t^2$

$I(t) = I_0 - 5,0t - 1,0t^2$

В этой формуле сила тока $I$ выражена в амперах (А), а время $t$ – в секундах (с).

Ответ: Сила тока в цепи изменяется со временем по закону $I(t) = I_0 - 5,0t - t^2$, где $I_0$ – сила тока в начальный момент времени $t=0$.