Номер 1231, страница 229 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сопротивление стержня: $R$

Длина стержня: $l$

Угловая скорость: $\omega$

Магнитная индукция: $\vec{B}$

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление источника: $r$

Найти:

Силу тока в стержне: $I$

Разность потенциалов на его концах: $U$

Решение:

Сила тока I в стержне

При вращении проводящего стержня в однородном магнитном поле на свободные заряды в нем действует сила Лоренца, что приводит к возникновению ЭДС индукции ($\mathcal{E}_{ind}$). Рассмотрим элементарный участок стержня длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от оси вращения O. Линейная скорость этого участка равна $v = \omega x$. ЭДС, наводимая в этом элементе, равна:

$d\mathcal{E}_{ind} = B v dx = B \omega x dx$

Чтобы найти полную ЭДС индукции в стержне, проинтегрируем это выражение по всей длине стержня от $x=0$ до $x=l$:

$\mathcal{E}_{ind} = \int_{0}^{l} B \omega x dx = B \omega \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{B \omega l^2}{2}$

Направление ЭДС индукции определим по правилу правой руки. Сила Лоренца, действующая на положительные заряды, направлена от конца A к центру вращения O. Следовательно, в точке O скапливаются положительные заряды, а в точке A — отрицательные. Таким образом, индуцированная ЭДС направлена от A к O.

Рассмотрим полную электрическую цепь. Внешний источник с ЭДС $\mathcal{E}$ подключен так, что его положительный полюс соединен с точкой C (и, следовательно, с концом стержня A), а отрицательный — с точкой O. Это означает, что внешний источник также стремится создать ток в направлении от A к O через стержень.

Поскольку обе ЭДС (внешняя $\mathcal{E}$ и индуцированная $\mathcal{E}_{ind}$) действуют в одном и том же направлении, общая ЭДС в замкнутой цепи равна их сумме:

$\mathcal{E}_{общ} = \mathcal{E} + \mathcal{E}_{ind} = \mathcal{E} + \frac{B \omega l^2}{2}$

Полное сопротивление цепи складывается из сопротивления стержня $R$ и внутреннего сопротивления источника $r$ (сопротивление полукольца пренебрежимо мало):

$R_{общ} = R + r$

По закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ в стержне равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E} + \frac{B \omega l^2}{2}}{R + r}$

Ответ: $I = \frac{\mathcal{E} + \frac{B \omega l^2}{2}}{R + r}$

Разность потенциалов на его концах

Разность потенциалов на концах стержня $U$ равна модулю разности потенциалов между точками A и O, то есть $U = |\varphi_A - \varphi_O|$. Эту разность можно найти, применив закон Ома для участка цепи, содержащего стержень (участок AO). На этом участке действует ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}$ и имеется сопротивление $R$. Ток $I$ течет от A к O.

Запишем разность потенциалов, двигаясь от точки O к точке A:

$\varphi_A = \varphi_O + I \cdot R - \mathcal{E}_{ind}$

Знак «+» перед $I \cdot R$ ставится потому, что мы движемся против направления тока. Знак «–» перед $\mathcal{E}_{ind}$ ставится потому, что мы движемся от положительного полюса индуцированной ЭДС (O) к отрицательному (A).

Отсюда разность потенциалов $\varphi_A - \varphi_O$ равна:

$\varphi_A - \varphi_O = I \cdot R - \mathcal{E}_{ind}$

Подставим ранее найденное выражение для тока $I$:

$\varphi_A - \varphi_O = \left( \frac{\mathcal{E} + \frac{B \omega l^2}{2}}{R + r} \right) R - \frac{B \omega l^2}{2}$

Приведем к общему знаменателю:

$\varphi_A - \varphi_O = \frac{(\mathcal{E} + \frac{B \omega l^2}{2})R - \frac{B \omega l^2}{2}(R+r)}{R+r} = \frac{\mathcal{E}R + \frac{B \omega l^2 R}{2} - \frac{B \omega l^2 R}{2} - \frac{B \omega l^2 r}{2}}{R+r} = \frac{\mathcal{E}R - \frac{B \omega l^2 r}{2}}{R+r}$

Тогда искомая разность потенциалов $U$ равна модулю этой величины:

$U = \left| \frac{\mathcal{E}R - \frac{B \omega l^2 r}{2}}{R+r} \right| = \frac{|2\mathcal{E}R - B \omega l^2 r|}{2(R+r)}$

Ответ: $U = \frac{|2\mathcal{E}R - B \omega l^2 r|}{2(R+r)}$