Номер 1219, страница 226 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$R = 1,0$ Ом

$B = 0,50$ Тл

$Q = 1,0$ мДж = $1,0 \cdot 10^{-3}$ Дж

$l_1 = 0,10$ м

$l_2 = 0,050$ м

$l_3 > l_2$

Найти:

$v$

Решение:

Количество теплоты в рамке выделяется согласно закону Джоуля-Ленца при протекании индукционного тока. Индукционный ток возникает в контуре, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий этот контур. В данной задаче изменение магнитного потока происходит на двух этапах: когда рамка входит в область однородного магнитного поля и когда она выходит из нее. Пока рамка движется полностью внутри поля (что возможно, так как по условию $l_3 > l_2$), магнитный поток через нее постоянен, и индукционный ток не возникает.

Рассмотрим оба этапа, на которых выделяется теплота.

1. Вход рамки в магнитное поле.

Когда рамка входит в магнитное поле, в ее правой вертикальной стороне длиной $l_1$ возникает ЭДС индукции (ЭДС движения), так как этот проводник пересекает линии магнитной индукции. Величина этой ЭДС равна:

$\mathcal{E}_1 = B l_1 v$

Эта ЭДС создает в рамке индукционный ток, который по закону Ома для полной цепи равен:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}_1}{R} = \frac{B l_1 v}{R}$

Мощность тока, которая выделяется в виде тепла, определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_1 = I_1^2 R = \left(\frac{B l_1 v}{R}\right)^2 R = \frac{B^2 l_1^2 v^2}{R}$

Процесс входа рамки в поле длится в течение времени $\Delta t_1$, за которое рамка перемещается на расстояние, равное ее ширине $l_2$.

$\Delta t_1 = \frac{l_2}{v}$

Количество теплоты, выделившееся на этом этапе, равно:

$Q_1 = P_1 \cdot \Delta t_1 = \frac{B^2 l_1^2 v^2}{R} \cdot \frac{l_2}{v} = \frac{B^2 l_1^2 l_2 v}{R}$

2. Выход рамки из магнитного поля.

Когда рамка выходит из поля, ЭДС индукции возникает в ее левой вертикальной стороне. Все расчеты аналогичны первому этапу, так как модуль скорости, индукция поля и размеры рамки те же. Направление тока будет противоположным, но на величину выделяемой теплоты это не влияет.

$\mathcal{E}_2 = B l_1 v$

$I_2 = \frac{B l_1 v}{R}$

$P_2 = \frac{B^2 l_1^2 v^2}{R}$

$\Delta t_2 = \frac{l_2}{v}$

Количество теплоты, выделившееся при выходе из поля:

$Q_2 = P_2 \cdot \Delta t_2 = \frac{B^2 l_1^2 l_2 v}{R}$

Общее количество теплоты $Q$ равно сумме теплоты, выделившейся на обоих этапах:

$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{B^2 l_1^2 l_2 v}{R} + \frac{B^2 l_1^2 l_2 v}{R} = 2 \frac{B^2 l_1^2 l_2 v}{R}$

Теперь из полученного выражения можем найти модуль скорости $v$:

$v = \frac{Q R}{2 B^2 l_1^2 l_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \cdot 1,0 \text{ Ом}}{2 \cdot (0,50 \text{ Тл})^2 \cdot (0,10 \text{ м})^2 \cdot 0,050 \text{ м}} = \frac{1,0 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0,25 \cdot 0,01 \cdot 0,050} = \frac{1,0 \cdot 10^{-3}}{0,5 \cdot 10^{-2} \cdot 5 \cdot 10^{-2}} = \frac{1,0 \cdot 10^{-3}}{2,5 \cdot 10^{-4}} = \frac{10}{2,5} = 4,0 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости должен быть равен $4,0$ м/с.