Номер 1374, страница 255 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Отношение максимального напряжения на конденсаторе к максимальной силе тока в катушке: $ \frac{U_{max}}{I_{max}} = \frac{m}{n} $

Электроемкость конденсатора: $ C $

Скорость света в вакууме: $ c $

Найти:

Длину волны $ \lambda $

Решение:

При резонансе в колебательном контуре происходят гармонические колебания заряда, напряжения и тока. Напряжение на конденсаторе $ U(t) $ и сила тока в контуре $ I(t) $ связаны следующим образом.

Заряд на конденсаторе изменяется по закону $ q(t) = q_{max} \cos(\omega t) $, где $ \omega $ – циклическая частота колебаний.

Напряжение на конденсаторе равно $ U(t) = \frac{q(t)}{C} = \frac{q_{max}}{C} \cos(\omega t) $. Максимальное значение напряжения (амплитуда) составляет $ U_{max} = \frac{q_{max}}{C} $.

Сила тока в контуре – это производная заряда по времени: $ I(t) = q'(t) = -\omega q_{max} \sin(\omega t) $. Максимальное значение силы тока (амплитуда) равно $ I_{max} = \omega q_{max} $.

Найдем отношение максимальных значений напряжения и силы тока:

$ \frac{U_{max}}{I_{max}} = \frac{q_{max}/C}{\omega q_{max}} = \frac{1}{\omega C} $

Согласно условию задачи, это отношение равно $ \frac{m}{n} $. Приравняем выражения:

$ \frac{m}{n} = \frac{1}{\omega C} $

Отсюда можно выразить циклическую частоту колебаний $ \omega $:

$ \omega = \frac{n}{mC} $

Длина волны $ \lambda $ связана с периодом колебаний $ T $ и скоростью света $ c $ соотношением $ \lambda = cT $. Период, в свою очередь, связан с циклической частотой как $ T = \frac{2\pi}{\omega} $.

Таким образом, для длины волны получаем:

$ \lambda = \frac{2\pi c}{\omega} $

Подставим в эту формулу найденное выражение для частоты $ \omega $:

$ \lambda = 2\pi c \cdot \frac{1}{\frac{n}{mC}} = 2\pi c \frac{mC}{n} $

Ответ: $ \lambda = \frac{2\pi c C m}{n} $