Номер 1369, страница 255 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 100 \text{ км} = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^5 \text{ м}$

$U_д = 200 \text{ кВ} = 200 \cdot 10^3 \text{ В} = 2 \cdot 10^5 \text{ В}$

$S = 100 \text{ мм}^2 = 100 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 10^{-4} \text{ м}^2$

$P = 30,0 \text{ МВт} = 30 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

Удельное сопротивление алюминия $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

КПД линии, $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) линии электропередачи определяется как отношение полезной мощности (мощности, доставленной потребителю $P_{полезн}$) к полной передаваемой мощности $P$:

$\eta = \frac{P_{полезн}}{P}$

Полная передаваемая мощность $P$ является суммой полезной мощности $P_{полезн}$ и мощности потерь в проводах $P_{потерь}$ из-за их нагрева (эффект Джоуля-Ленца).

$P = P_{полезн} + P_{потерь}$

Отсюда, полезная мощность $P_{полезн} = P - P_{потерь}$, и формула для КПД принимает вид:

$\eta = \frac{P - P_{потерь}}{P} = 1 - \frac{P_{потерь}}{P}$

Мощность потерь в проводах вычисляется по формуле:

$P_{потерь} = I^2 R$, где $I$ - сила тока в линии, а $R$ - общее сопротивление проводов.

Линия является двухпроводной, поэтому общая длина провода, по которому течет ток, равна удвоенной длине линии: $L = 2l$. Тогда общее сопротивление линии равно:

$R = \frac{\rho L}{S} = \frac{\rho \cdot 2l}{S}$

Силу тока в линии можно найти из формулы передаваемой мощности (предполагая, что нагрузка является чисто активной, то есть $\cos\varphi = 1$):

$P = U_д I \implies I = \frac{P}{U_д}$

Теперь подставим выражения для силы тока $I$ и сопротивления $R$ в формулу для мощности потерь:

$P_{потерь} = \left(\frac{P}{U_д}\right)^2 \cdot \frac{2\rho l}{S} = \frac{P^2 \cdot 2\rho l}{U_д^2 S}$

Подставим полученное выражение для потерь мощности в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{1}{P} \left(\frac{P^2 \cdot 2\rho l}{U_д^2 S}\right) = 1 - \frac{P \cdot 2\rho l}{U_д^2 S}$

Выполним расчеты, подставляя числовые значения в систему СИ:

$\eta = 1 - \frac{(30 \cdot 10^6 \text{ Вт}) \cdot 2 \cdot (2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (10^5 \text{ м})}{(2 \cdot 10^5 \text{ В})^2 \cdot (10^{-4} \text{ м}^2)}$

$\eta = 1 - \frac{30 \cdot 2 \cdot 2,8 \cdot 10^{6-8+5}}{4 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-4}} = 1 - \frac{168 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^6} = 1 - \frac{1,68 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^6} = 1 - 0,42 \cdot 10^{-1} = 1 - 0,042 = 0,958$

Для выражения КПД в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\eta = 0,958 \cdot 100\% = 95,8\%$

Ответ: КПД линии составляет $95,8\%$.