Номер 1368, страница 255 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Исходное действующее напряжение: $U_{д1} = 6,0 \text{ кВ}$

Номинальная передаваемая мощность: $P = 1,0 \text{ МВт}$

Ежесуточные потери энергии в исходном режиме: $\Delta W = 0,22 \text{ МВт} \cdot \text{ч}$

Временной интервал: $t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ ч}$

Допустимый коэффициент потерь в новом режиме: $k = 0,10 \%$

---

Перевод в СИ:

$U_{д1} = 6,0 \cdot 10^3 \text{ В}$

$P = 1,0 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$\Delta W = 0,22 \cdot 10^6 \text{ Вт} \cdot 3600 \text{ с} = 7,92 \cdot 10^8 \text{ Дж}$

$t = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

$k = 0,10 \% = 0,001$

Найти:

Отношение напряжений $n = \frac{U_{д2}}{U_{д1}}$

Решение:

Мощность потерь при передаче электроэнергии в линии с сопротивлением $R$ определяется по закону Джоуля-Ленца:

$P_{потерь} = I^2 R$

где $I$ — действующее значение силы тока в линии.

Сила тока связана с передаваемой мощностью $P$ и напряжением $U_д$ соотношением (считая коэффициент мощности равным 1):

$I = \frac{P}{U_д}$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности потерь:

$P_{потерь} = \left(\frac{P}{U_д}\right)^2 R = \frac{P^2 R}{U_д^2}$

Из этой формулы следует, что при неизменных передаваемой мощности $P$ и сопротивлении линии $R$, мощность потерь обратно пропорциональна квадрату напряжения: $P_{потерь} \sim \frac{1}{U_д^2}$.

Рассмотрим два режима работы линии электропередачи.

1. Исходный режим.

Найдем мощность потерь $P_{потерь1}$, зная потери энергии $\Delta W$ за время $t$:

$P_{потерь1} = \frac{\Delta W}{t} = \frac{0,22 \text{ МВт} \cdot \text{ч}}{24 \text{ ч}} = \frac{0,22}{24} \text{ МВт}$

Эта мощность потерь соответствует напряжению $U_{д1}$.

$P_{потерь1} = \frac{P^2 R}{U_{д1}^2}$

2. Новый режим.

В новом режиме при напряжении $U_{д2}$ потери энергии не должны превышать $k = 0,10 \%$ от переданной энергии. Это означает, что мощность потерь $P_{потерь2}$ не должна превышать $k$ от передаваемой мощности $P$. Возьмем предельный случай:

$P_{потерь2} = k \cdot P = 0,001 \cdot 1,0 \text{ МВт} = 0,001 \text{ МВт}$

Эта мощность потерь соответствует напряжению $U_{д2}$.

$P_{потерь2} = \frac{P^2 R}{U_{д2}^2}$

Составим отношение мощностей потерь для двух режимов:

$\frac{P_{потерь1}}{P_{потерь2}} = \frac{P^2 R / U_{д1}^2}{P^2 R / U_{д2}^2} = \frac{U_{д2}^2}{U_{д1}^2} = \left(\frac{U_{д2}}{U_{д1}}\right)^2$

Искомое отношение напряжений $n = \frac{U_{д2}}{U_{д1}}$. Тогда:

$n^2 = \frac{P_{потерь1}}{P_{потерь2}}$

$n = \sqrt{\frac{P_{потерь1}}{P_{потерь2}}}$

Подставим числовые значения:

$n = \sqrt{\frac{\frac{0,22}{24} \text{ МВт}}{0,001 \text{ МВт}}} = \sqrt{\frac{0,22}{24 \cdot 0,001}} = \sqrt{\frac{0,22}{0,024}} = \sqrt{\frac{220}{24}} = \sqrt{\frac{55}{6}}$

$n \approx \sqrt{9,1667} \approx 3,0277$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), округляем результат:

$n \approx 3,0$

Ответ: необходимо повысить действующее значение напряжения в линии примерно в 3,0 раза.