Номер 1372, страница 255 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$C_1 = 50 \text{ пФ} = 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_2 = 0,25 \text{ нФ} = 0,25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 250 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$L = 50 \text{ мкГн} = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

Диапазон частот $\nu_1 \div \nu_2$

Решение:

Радиоприемник принимает радиоволны, когда частота принимаемой волны совпадает с собственной частотой колебаний его колебательного контура (явление резонанса). Собственная частота колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\nu$ - собственная частота колебаний контура, $L$ - индуктивность катушки, а $C$ - емкость конденсатора.

Из формулы видно, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из емкости $C$. Это означает, что при увеличении емкости частота уменьшается, и наоборот. Следовательно, минимальной емкости $C_1$ будет соответствовать максимальная частота диапазона ($\nu_{max}$), а максимальной емкости $C_2$ - минимальная частота диапазона ($\nu_{min}$).

1. Вычислим минимальную частоту диапазона, используя максимальное значение емкости $C_2$:

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 0,25 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{12,5 \cdot 10^{-15} \text{ с}^2}}$

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1,25 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} \approx \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 1,118 \cdot 10^{-7} \text{ с}} \approx \frac{1}{7,021 \cdot 10^{-7} \text{ с}} \approx 1,424 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Переведем в мегагерцы: $\nu_{min} \approx 1,42 \text{ МГц}$.

2. Вычислим максимальную частоту диапазона, используя минимальное значение емкости $C_1$:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2500 \cdot 10^{-18} \text{ с}^2}}$

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{25 \cdot 10^{-16} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ с}} = \frac{1}{10\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{10^7}{3,14} \text{ Гц} \approx 3,18 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

Переведем в мегагерцы: $\nu_{max} \approx 3,18 \text{ МГц}$.

Таким образом, диапазон частот, которые может принимать радиоприемник, составляет от 1,42 МГц до 3,18 МГц.

Ответ: $1,42 \text{ МГц} \div 3,18 \text{ МГц}$.