Номер 1424, страница 266 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 1,0$ м

$l_1 = 80$ см = $0,8$ м

$s = 1,5$ м

$l_2 = 1,3$ м

Найти:

$H$ – ?

Решение:

Рассмотрим два случая. В обоих случаях фонарный столб, шест и тень образуют два подобных прямоугольных треугольника. Один треугольник образован фонарным столбом (высота $H$) и расстоянием от его основания до конца тени. Второй треугольник образован шестом (высота $h$) и длиной его тени.

Случай 1:
Пусть $d_1$ – первоначальное расстояние от фонарного столба до шеста. Длина тени равна $l_1$. Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{d_1 + l_1}{l_1}$

Выразим отсюда $d_1$:

$\frac{H}{h} = \frac{d_1}{l_1} + 1$

$\frac{H-h}{h} = \frac{d_1}{l_1}$

$d_1 = l_1 \frac{H-h}{h}$ (1)

Случай 2:
Расстояние между фонарным столбом и шестом увеличили на $s$. Новое расстояние стало $d_2 = d_1 + s$. Длина тени стала $l_2$. Аналогично, из подобия треугольников для второго случая:

$\frac{H}{h} = \frac{d_2 + l_2}{l_2} = \frac{d_1 + s + l_2}{l_2}$

Выразим отсюда $d_1+s$:

$\frac{H-h}{h} = \frac{d_1+s}{l_2}$

$d_1 + s = l_2 \frac{H-h}{h}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $d_1$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$l_1 \frac{H-h}{h} + s = l_2 \frac{H-h}{h}$

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную высоту $H$, в одну сторону:

$s = l_2 \frac{H-h}{h} - l_1 \frac{H-h}{h}$

$s = (l_2 - l_1) \frac{H-h}{h}$

Теперь выразим искомую высоту фонаря $H$:

$H-h = \frac{s \cdot h}{l_2 - l_1}$

$H = h + \frac{s \cdot h}{l_2 - l_1}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$H = 1,0 \, м + \frac{1,5 \, м \cdot 1,0 \, м}{1,3 \, м - 0,8 \, м} = 1,0 \, м + \frac{1,5 \, м^2}{0,5 \, м} = 1,0 \, м + 3,0 \, м = 4,0 \, м$

Ответ: высота, на которой находится фонарь, равна $4,0$ м.