Номер 1417, страница 263 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны $\lambda_1 = 657 \text{ нм} = 657 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Длина волны $\lambda_2 = 481 \text{ нм} = 481 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Длина волны $\lambda_3 = 434 \text{ нм} = 434 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Длина волны $\lambda_4 = 411 \text{ нм} = 411 \cdot 10^{-9} \text{ м}$
Постоянная решетки $d = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$N$ - общее число наблюдаемых спектральных линий.

Решение:

Условие для наблюдения дифракционных максимумов для света, падающего нормально на дифракционную решетку, определяется формулой:

$d \sin\varphi = k\lambda$

где $d$ — постоянная (период) решетки, $\varphi$ — угол дифракции, $\lambda$ — длина волны света, $k$ — порядок спектра, который является целым числом ($k = 0, \pm1, \pm2, ...$).

Спектральная линия может наблюдаться только в том случае, если угол дифракции $\varphi$ является действительным, что накладывает ограничение на синус угла: $|\sin\varphi| \le 1$.

Исходя из этого условия, мы можем определить максимально возможный порядок спектра $k_{max}$ для каждой длины волны:

$\frac{|k|\lambda}{d} \le 1 \implies |k| \le \frac{d}{\lambda}$

Поскольку порядок $k$ должен быть целым числом, максимальный наблюдаемый порядок для данной длины волны равен целой части от отношения $d/\lambda$:

$k_{max} = \lfloor \frac{d}{\lambda} \rfloor$

Для каждой длины волны наблюдается центральный максимум при $k=0$ и по два симметричных максимума для каждого порядка от $1$ до $k_{max}$. В данной задаче используется свет, содержащий четыре разные длины волны. Центральный максимум ($k=0$) будет общим для всех длин волн, создавая одну яркую линию. Остальные линии для разных длин волн и разных порядков будут наблюдаться под разными углами и будут являться отдельными линиями.

Общее число наблюдаемых линий $N$ будет равно единице (общий центральный максимум) плюс сумма числа боковых максимумов для каждой длины волны. Число боковых максимумов для одной длины волны равно $2 \cdot k_{max}$.

Вычислим максимальный порядок спектра для каждой из длин волн:

Для $\lambda_1 = 657$ нм:
$k_{max,1} = \lfloor \frac{d}{\lambda_1} \rfloor = \lfloor \frac{600}{657} \rfloor = \lfloor 0.913... \rfloor = 0$

Для $\lambda_2 = 481$ нм:
$k_{max,2} = \lfloor \frac{d}{\lambda_2} \rfloor = \lfloor \frac{600}{481} \rfloor = \lfloor 1.247... \rfloor = 1$

Для $\lambda_3 = 434$ нм:
$k_{max,3} = \lfloor \frac{d}{\lambda_3} \rfloor = \lfloor \frac{600}{434} \rfloor = \lfloor 1.382... \rfloor = 1$

Для $\lambda_4 = 411$ нм:
$k_{max,4} = \lfloor \frac{d}{\lambda_4} \rfloor = \lfloor \frac{600}{411} \rfloor = \lfloor 1.459... \rfloor = 1$

Теперь подсчитаем общее число линий:

1. Центральный максимум ($k=0$): 1 общая линия для всех длин волн.
2. Боковые максимумы для $\lambda_1$: $2 \cdot k_{max,1} = 2 \cdot 0 = 0$ линий.
3. Боковые максимумы для $\lambda_2$: $2 \cdot k_{max,2} = 2 \cdot 1 = 2$ линии ($k=\pm1$).
4. Боковые максимумы для $\lambda_3$: $2 \cdot k_{max,3} = 2 \cdot 1 = 2$ линии ($k=\pm1$).
5. Боковые максимумы для $\lambda_4$: $2 \cdot k_{max,4} = 2 \cdot 1 = 2$ линии ($k=\pm1$).

Суммируя все линии, получаем общее число наблюдаемых спектральных линий $N$:

$N = 1 + 2k_{max,1} + 2k_{max,2} + 2k_{max,3} + 2k_{max,4}$

$N = 1 + 0 + 2 + 2 + 2 = 7$

Ответ: 7