Номер 1419, страница 263 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Порядок дифракционного максимума $k = 1$
Расстояние от центрального максимума до первого $x = 30 \text{ см}$
Постоянная решетки $d = 2,0 \text{ мкм}$
Расстояние от решетки до экрана $D = 1,5 \text{ м}$

$x = 0,3 \text{ м}$
$d = 2,0 \times 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Длину волны света $\lambda$.

Решение:

Условие возникновения дифракционных максимумов при нормальном падении света на решетку описывается формулой: $d \sin\alpha = k\lambda$, где $d$ — постоянная (период) дифракционной решетки, $\alpha$ — угол дифракции, под которым наблюдается максимум, $k$ — порядок максимума ($k=0, 1, 2, ...$), $\lambda$ — длина волны света.

В данной задаче рассматривается первый дифракционный максимум, следовательно, порядок максимума $k=1$. Формула упрощается: $d \sin\alpha = \lambda$.

Угол дифракции $\alpha$ можно связать с геометрическими параметрами установки. Из прямоугольного треугольника, образованного расстоянием от решетки до экрана $D$ (прилежащий катет), расстоянием от центрального максимума до первого $x$ (противолежащий катет) и путем луча, можно найти тангенс угла $\alpha$: $\tan\alpha = \frac{x}{D}$.

В условии задачи дано указание, что для малых углов можно использовать приближение $\sin\alpha \approx \tan\alpha$. Применим это приближение к формуле дифракционной решетки: $d \tan\alpha \approx \lambda$.

Теперь подставим выражение для тангенса угла в эту формулу, чтобы получить расчетную формулу для длины волны: $\lambda = d \frac{x}{D}$.

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу и произведем вычисления: $\lambda = 2,0 \times 10^{-6} \text{ м} \cdot \frac{0,3 \text{ м}}{1,5 \text{ м}} = 2,0 \times 10^{-6} \cdot 0,2 = 0,4 \times 10^{-6} \text{ м}$.

Результат удобно выразить в нанометрах, зная, что $1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$: $\lambda = 0,4 \times 10^{-6} \text{ м} = 400 \times 10^{-9} \text{ м} = 400 \text{ нм}$.

Ответ: длина волны света равна $400 \text{ нм}$.