Номер 1414, страница 262 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$N = 5,0 \cdot 10^2 = 500$

$l = 1,0 \text{ мм} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\lambda = 0,59 \text{ нм} = 0,59 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

$m_{max}$ - наибольший порядок дифракционного максимума

$\lambda_{max}$ - наибольшая длина волны

Решение:

Условие наблюдения главных максимумов дифракционной решетки определяется формулой:

$d \sin\phi = m\lambda$

где $d$ — период дифракционной решетки, $\phi$ — угол дифракции, $m$ — порядок максимума, $\lambda$ — длина волны света.

Период решетки — это расстояние между двумя соседними штрихами. Его можно найти, разделив общую длину решетки на количество штрихов:

$d = \frac{l}{N} = \frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{500} = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Определите наибольший порядок $m_{max}$ дифракционного максимума в спектре, который может дать дифракционная решетка

Наибольший порядок максимума $m_{max}$ наблюдается при наибольшем возможном значении угла дифракции. Максимальное значение синуса угла равно единице ($\sin\phi_{max} = 1$), что соответствует углу $\phi_{max} = 90^\circ$.

Подставим это значение в формулу дифракционной решетки:

$d \cdot 1 = m_{max}\lambda$

Отсюда выразим $m_{max}$:

$m_{max} = \frac{d}{\lambda}$

Подставим числовые значения:

$m_{max} = \frac{2,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{0,59 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 3389,83$

Поскольку порядок максимума $m$ может быть только целым числом, то наибольший наблюдаемый порядок равен целой части от полученного значения.

$m_{max} = 3389$

Ответ: Наибольший порядок дифракционного максимума равен 3389.

Какую наибольшую длину волны $\lambda_{max}$ можно наблюдать в спектре этой решетки?

Для того чтобы в спектре можно было наблюдать хотя бы один максимум (кроме центрального, нулевого), необходимо, чтобы условие дифракции выполнялось как минимум для первого порядка ($m=1$).

$d \sin\phi = 1 \cdot \lambda$

Наибольшая возможная длина волны $\lambda_{max}$ будет наблюдаться при максимальном угле дифракции, то есть при $\sin\phi = 1$.

$d \cdot 1 = \lambda_{max}$

Таким образом, наибольшая длина волны, которую можно наблюдать с помощью данной решетки, равна ее периоду.

$\lambda_{max} = d = 2,0 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 2000 \text{ нм}$

Ответ: Наибольшая длина волны, которую можно наблюдать, составляет 2000 нм.