Номер 1411, страница 262 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Постоянная дифракционной решетки $d = 2,0 \text{ мкм}$

Длина волны красного света $\lambda_1 = 760 \text{ нм}$

Длина волны фиолетового света $\lambda_2 = 400 \text{ нм}$

Перевод в систему СИ:

$d = 2,0 \times 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda_1 = 760 \times 10^{-9} \text{ м} = 7,6 \times 10^{-7} \text{ м}$

$\lambda_2 = 400 \times 10^{-9} \text{ м} = 4,0 \times 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

а) $m_{\text{max1}}$ — наибольший порядок максимума для красного света.

б) $m_{\text{max2}}$ — наибольший порядок максимума для фиолетового света.

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки при нормальном падении света описывается формулой:

$d \sin\theta = m \lambda$

где $d$ — постоянная (период) решетки, $\theta$ — угол, под которым наблюдается максимум, $m$ — порядок максимума (целое число: 0, ±1, ±2, ...), $\lambda$ — длина волны света.

Для того чтобы максимум можно было наблюдать, угол дифракции $\theta$ должен быть реальным, то есть значение $\sin\theta$ не может превышать 1. Таким образом, $\sin\theta \le 1$.

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin\theta$:

$\sin\theta = \frac{m \lambda}{d}$

Подставляя это в неравенство, получаем условие для максимально возможного порядка $m$:

$\frac{m \lambda}{d} \le 1$

Отсюда:

$m \le \frac{d}{\lambda}$

Поскольку порядок максимума $m$ должен быть целым числом, наибольший наблюдаемый порядок $m_{\text{max}}$ равен целой части от значения дроби $\frac{d}{\lambda}$.

а) Найдем наибольший порядок максимума для красной области спектра ($\lambda_1 = 760 \text{ нм}$):

$m_{\text{max1}} \le \frac{d}{\lambda_1} = \frac{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}}{760 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2000 \times 10^{-9} \text{ м}}{760 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2000}{760} \approx 2,63$

Наибольшее целое число, не превышающее 2,63, равно 2.

Ответ: Наибольший порядок дифракционного максимума в красной области спектра равен 2.

б) Найдем наибольший порядок максимума для фиолетовой области спектра ($\lambda_2 = 400 \text{ нм}$):

$m_{\text{max2}} \le \frac{d}{\lambda_2} = \frac{2,0 \times 10^{-6} \text{ м}}{400 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2000 \times 10^{-9} \text{ м}}{400 \times 10^{-9} \text{ м}} = \frac{2000}{400} = 5$

Наибольшее целое число, не превышающее 5, равно 5.

Ответ: Наибольший порядок дифракционного максимума в фиолетовой области спектра равен 5.