Номер 1409, страница 262 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол дифракции, $\phi = 41,0^\circ$

Длина волны 1, $\lambda_1 = 656$ нм $= 656 \cdot 10^{-9}$ м

Длина волны 2, $\lambda_2 = 546$ нм $= 546 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Постоянная дифракционной решетки, $d$ - ?

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки при нормальном падении света задается формулой:

$d \sin\phi = k\lambda$

где $d$ – постоянная (период) решетки, $\phi$ – угол дифракции, $k$ – порядок максимума (целое число), $\lambda$ – длина волны.

По условию задачи, под одним и тем же углом $\phi$ наблюдаются максимумы для двух длин волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Это значит, что для них выполняются следующие условия:

$d \sin\phi = k_1 \lambda_1$ (1)

$d \sin\phi = k_2 \lambda_2$ (2)

Приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

$k_1 \lambda_1 = k_2 \lambda_2$

В задаче сказано, что совпадают соседние максимумы. Это означает, что их порядки $k_1$ и $k_2$ являются последовательными целыми числами. Поскольку $\lambda_1 = 656$ нм > $\lambda_2 = 546$ нм, из равенства $k_1/k_2 = \lambda_2/\lambda_1$ следует, что $k_1 < k_2$. Таким образом, $k_2 = k_1 + 1$.

Подставим это соотношение в уравнение $k_1 \lambda_1 = k_2 \lambda_2$:

$k_1 \lambda_1 = (k_1 + 1) \lambda_2$

Теперь решим это уравнение относительно $k_1$:

$k_1 \lambda_1 = k_1 \lambda_2 + \lambda_2$

$k_1 (\lambda_1 - \lambda_2) = \lambda_2$

$k_1 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$

Подставим числовые значения длин волн:

$k_1 = \frac{546 \text{ нм}}{656 \text{ нм} - 546 \text{ нм}} = \frac{546}{110} \approx 4.964$

Поскольку порядок максимума $k_1$ должен быть целым числом, округлим полученное значение до ближайшего целого: $k_1 = 5$. Небольшое расхождение, вероятно, связано с округлением исходных данных в условии задачи.

Теперь, зная порядок $k_1 = 5$, мы можем найти постоянную решетки $d$ из уравнения (1):

$d = \frac{k_1 \lambda_1}{\sin\phi}$

Подставим все известные значения в СИ:

$d = \frac{5 \cdot 656 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{\sin(41,0^\circ)}$

Используя значение $\sin(41,0^\circ) \approx 0.65606$, получаем:

$d \approx \frac{3280 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{0.65606} \approx 4999.5 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$d \approx 5.00 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 5.00 \text{ мкм}$

Ответ: постоянная дифракционной решетки должна быть равна $5.00$ мкм.