Номер 1403, страница 261 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны монохроматического света: $\lambda = 0,60$ мкм = $0,60 \cdot 10^{-6}$ м

Расстояние между соседними интерференционными полосами: $a = 4,0$ мм = $4,0 \cdot 10^{-3}$ м

Абсолютный показатель преломления стекла: $n = 1,5$

Найти:

Угол клина: $\alpha$

Решение:

При падении света на тонкий стеклянный клин возникает интерференционная картина в отраженном свете. Она обусловлена сложением световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей клина.

Оптическая разность хода $\Delta$ между двумя отраженными лучами в точке, где толщина клина равна $h$, при нормальном падении света определяется формулой:

$\Delta = 2nh + \frac{\lambda}{2}$

Дополнительный член $\frac{\lambda}{2}$ появляется из-за того, что при отражении света от верхней границы (воздух-стекло), то есть от оптически более плотной среды, фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно потере полуволны. При отражении от нижней границы (стекло-воздух) изменения фазы не происходит.

Условие образования темных интерференционных полос (минимумов интенсивности) имеет вид:

$\Delta = (m + \frac{1}{2})\lambda$, где $m$ – целое число (порядок минимума, $m = 0, 1, 2, ...$).

Приравняем два выражения для разности хода:

$2nh + \frac{\lambda}{2} = (m + \frac{1}{2})\lambda$

$2nh = m\lambda$

Для малого угла клина $\alpha$ (выраженного в радианах) толщина $h$ на расстоянии $x$ от вершины клина связана с углом соотношением:

$h \approx x \cdot \alpha$

Подставим это выражение в условие минимума:

$2n(x\alpha) = m\lambda$

Рассмотрим две соседние темные полосы. Для $m$-й полосы, расположенной на расстоянии $x_m$ от вершины:

$2nx_m\alpha = m\lambda$

Для $(m+1)$-й полосы, расположенной на расстоянии $x_{m+1}$:

$2nx_{m+1}\alpha = (m+1)\lambda$

Вычтем из второго уравнения первое:

$2n\alpha(x_{m+1} - x_m) = (m+1)\lambda - m\lambda$

$2n\alpha(x_{m+1} - x_m) = \lambda$

Расстояние между соседними темными полосами по условию равно $a$, то есть $a = x_{m+1} - x_m$.

$2na\alpha = \lambda$

Отсюда выражаем искомый угол клина $\alpha$:

$\alpha = \frac{\lambda}{2na}$

Подставим числовые значения из условия, предварительно переведя их в систему СИ:

$\alpha = \frac{0,60 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{2 \cdot 1,5 \cdot 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = \frac{0,60 \cdot 10^{-6}}{12 \cdot 10^{-3}} = 0,05 \cdot 10^{-3} \text{ рад} = 5,0 \cdot 10^{-5} \text{ рад}$

Ответ: $5,0 \cdot 10^{-5}$ рад.