Номер 1402, страница 261 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Показатель преломления мыльной пленки $n = 1,33$
Угол падения света $\alpha = 45,0^\circ$
Длина волны желтого света $\lambda = 600 \text{ нм}$

$ \lambda = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

Наименьшую толщину пленки $d_{min}$.

Решение

Когда свет падает на тонкую пленку, он отражается от ее верхней и нижней поверхностей. Эти два отраженных луча интерферируют между собой. Цвет пленки определяется условием усиления (конструктивной интерференции) света определенной длины волны.

Оптическая разность хода $\Delta$ между двумя лучами складывается из геометрической разности хода и дополнительной разности хода, возникающей из-за сдвига фаз при отражении.

1. Луч, отражающийся от верхней поверхности пленки (граница воздух-пленка), испытывает сдвиг фазы на $\pi$, так как отражение происходит от оптически более плотной среды ($n > n_{воздуха} \approx 1$). Этот сдвиг фазы эквивалентен дополнительной оптической разности хода, равной $\frac{\lambda}{2}$.

2. Луч, проходящий сквозь пленку и отражающийся от ее нижней поверхности (граница пленка-воздух), не меняет своей фазы, так как отражается от оптически менее плотной среды.

Геометрическая разность хода для луча, прошедшего пленку туда и обратно, равна $2dn \cos\beta$, где $d$ — толщина пленки, $n$ — показатель преломления, $\beta$ — угол преломления.

Суммарная оптическая разность хода: $\Delta = 2dn \cos\beta + \frac{\lambda}{2}$.

Условие максимума (усиления света) при интерференции: $\Delta = m\lambda$, где $m = 1, 2, 3, ...$ — порядок максимума.

Приравнивая выражения для разности хода, получаем условие для конструктивной интерференции в отраженном свете: $2dn \cos\beta + \frac{\lambda}{2} = m\lambda$

$2dn \cos\beta = (m - \frac{1}{2})\lambda$

Наименьшая толщина пленки $d_{min}$ соответствует минимальному порядку максимума, то есть $m=1$.

$2d_{min}n \cos\beta = (1 - \frac{1}{2})\lambda = \frac{\lambda}{2}$

Отсюда выражаем искомую толщину: $d_{min} = \frac{\lambda}{4n \cos\beta}$

Угол преломления $\beta$ найдем из закона преломления света (закона Снеллиуса): $n_1 \sin\alpha = n \sin\beta$, где $n_1 \approx 1$ — показатель преломления воздуха.

$\sin\alpha = n \sin\beta \implies \sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}$

$\sin\beta = \frac{\sin 45,0^\circ}{1,33} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1,33} \approx \frac{0,7071}{1,33} \approx 0,5317$

Теперь найдем $\cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (0,5317)^2} \approx \sqrt{1 - 0,2827} = \sqrt{0,7173} \approx 0,8469$

Подставим все значения в формулу для $d_{min}$:

$d_{min} = \frac{600 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{4 \cdot 1,33 \cdot 0,8469} \approx \frac{600 \cdot 10^{-9}}{4,507} \approx 133,1 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Переводя в нанометры, получаем: $d_{min} \approx 133 \text{ нм}$.

Ответ: $133 \text{ нм}$.