Номер 1404, страница 261 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Длина волны света: $\lambda = 0,58 \text{ мкм}$

Угол клина: $\alpha = 20''$

Расстояние: $l = 1,0 \text{ см}$

Абсолютный показатель преломления стекла: $n = 1,5$

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 0,58 \times 10^{-6} \text{ м}$

$l = 1,0 \times 10^{-2} \text{ м}$

Угол $\alpha$ необходимо перевести из угловых секунд в радианы. Зная, что $1^{\circ} = 3600''$ и $\pi \text{ рад} = 180^{\circ}$, получаем:

$\alpha = 20'' = \frac{20}{3600} \text{ градусов} = \frac{20}{3600} \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} \approx 9,696 \times 10^{-5} \text{ рад}$

Найти:

Число темных интерференционных полос $N$.

Решение

При падении пучка света на стеклянный клин свет отражается от его верхней и нижней поверхностей. Эти два отраженных луча когерентны и интерферируют между собой. Условие образования темной интерференционной полосы (минимума) при наблюдении в отраженном свете и при нормальном падении света на поверхность клина определяется формулой:

$2nh = m\lambda$

где $n$ – показатель преломления вещества клина, $h$ – толщина клина в точке наблюдения, $m$ – целое число ($m=0, 1, 2, ...$), называемое порядком интерференционного минимума, а $\lambda$ – длина волны света в вакууме. Эта формула учитывает, что при отражении от границы с оптически более плотной средой (воздух-стекло) фаза волны меняется на $\pi$, что эквивалентно дополнительной разности хода в $\lambda/2$.

Толщина клина $h$ на расстоянии $x$ от его вершины для малого угла $\alpha$ (выраженного в радианах) может быть найдена как:

$h \approx x \cdot \tan{\alpha} \approx x \cdot \alpha$

Подставим это выражение в условие минимума:

$2n(x_m \alpha) = m\lambda$

Отсюда можно выразить координату $x_m$ для $m$-ой темной полосы:

$x_m = \frac{m\lambda}{2n\alpha}$

Самая первая темная полоса ($m=0$) находится у вершины клина ($x_0 = 0$), где его толщина равна нулю.

Чтобы найти общее число $N$ темных полос на расстоянии $l$ от вершины клина, нужно определить максимальный порядок $m_{max}$, который наблюдается в пределах этого расстояния. Для этого координата последней полосы $x_{m_{max}}$ не должна превышать $l$:

$x_{m_{max}} \le l$

$\frac{m_{max}\lambda}{2n\alpha} \le l$

Отсюда находим $m_{max}$:

$m_{max} \le \frac{2nl\alpha}{\lambda}$

Теперь подставим числовые значения всех величин в системе СИ:

$m_{max} \le \frac{2 \cdot 1,5 \cdot 1,0 \times 10^{-2} \cdot 9,696 \times 10^{-5}}{0,58 \times 10^{-6}}$

$m_{max} \le \frac{2,9088 \times 10^{-6}}{0,58 \times 10^{-6}} \approx 5,015$

Поскольку порядок $m$ может быть только целым числом, максимальный порядок темной полосы, наблюдаемой на расстоянии $l$, равен $m_{max} = 5$.

На расстоянии $l$ будут видны темные полосы, соответствующие порядкам $m = 0, 1, 2, 3, 4, 5$. Общее число этих полос $N$ равно:

$N = m_{max} + 1 = 5 + 1 = 6$

Ответ: На расстоянии 1,0 см клина наблюдается 6 темных интерференционных полос.