Номер 1413, страница 262 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 0.50$ мкм

Постоянная дифракционной решетки, $d = 4.9$ мкм

В системе СИ:

$\lambda = 0.50 \cdot 10^{-6}$ м

$d = 4.9 \cdot 10^{-6}$ м

Общее число максимумов, $N$

Угол дифракции для последнего максимума, $\varphi_{max}$

Условие для наблюдения главных максимумов дифракционной решетки при нормальном падении света описывается формулой:

$d \sin \varphi = k \lambda$

где $d$ — постоянная решетки, $\varphi$ — угол дифракции, $\lambda$ — длина волны света, а $k$ — целое число, называемое порядком максимума ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Определите число k максимумов, которые дает решетка.

Для существования дифракционного максимума необходимо, чтобы синус угла дифракции не превышал единицу по абсолютному значению, то есть $|\sin \varphi| \le 1$.

Из формулы дифракционной решетки выразим $\sin \varphi = \frac{k \lambda}{d}$.

Тогда условие существования максимума принимает вид: $|\frac{k \lambda}{d}| \le 1$, откуда получаем максимальный порядок максимума $k_{max}$:

$|k| \le \frac{d}{\lambda}$

Подставим известные значения:

$|k| \le \frac{4.9 \text{ мкм}}{0.50 \text{ мкм}} = 9.8$

Поскольку порядок максимума $k$ должен быть целым числом, максимальное значение, которое он может принимать, равно 9. Таким образом, $k_{max} = 9$.

Максимумы будут наблюдаться для всех целых значений $k$ от $-9$ до $+9$. Это порядки $k = -9, -8, \dots, -1, 0, 1, \dots, 8, 9$.

Общее число максимумов $N$ равно количеству таких целых чисел:

$N = 2 \cdot k_{max} + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 19$

Ответ: решетка дает 19 максимумов.

Определите угол дифракции ф, соответствующий последнему максимуму.

Последний (наиболее отклоненный) максимум соответствует максимальному порядку $k_{max} = 9$. Найдем соответствующий ему угол дифракции $\varphi_{max}$.

Используем формулу решетки для $k = k_{max}$:

$d \sin \varphi_{max} = k_{max} \lambda$

Отсюда находим синус искомого угла:

$\sin \varphi_{max} = \frac{k_{max} \lambda}{d}$

Подставим числовые значения:

$\sin \varphi_{max} = \frac{9 \cdot 0.50 \text{ мкм}}{4.9 \text{ мкм}} = \frac{4.5}{4.9} \approx 0.9184$

Теперь найдем сам угол, взяв арксинус от полученного значения:

$\varphi_{max} = \arcsin\left(\frac{4.5}{4.9}\right) \approx 66.7^\circ$

Ответ: угол дифракции, соответствующий последнему максимуму, составляет примерно $66.7^\circ$.