Номер 1420, страница 263 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Расстояние от решетки до экрана $D = 2,0$ м

Расстояние между максимумами первого порядка $l = 6,0$ см $= 6,0 \cdot 10^{-2}$ м

Постоянная решетки $d = 40$ мкм $= 40 \cdot 10^{-6}$ м

Порядок максимума $k = 1$

Найти:

Длину световой волны $\lambda$.

Решение:

Условие максимумов для дифракционной решетки имеет вид:

$d \sin\theta = k\lambda$

где $d$ – постоянная решетки, $\theta$ – угол, под которым наблюдается максимум, $k$ – порядок максимума, а $\lambda$ – длина волны света.

Для максимума первого порядка $k=1$, поэтому формула упрощается:

$d \sin\theta = \lambda$

Расстояние $l$ на экране дано между двумя максимумами первого порядка, расположенными симметрично относительно центрального (нулевого) максимума. Расстояние от центрального максимума до одного из максимумов первого порядка будет равно $x = l/2$.

Из геометрии установки тангенс угла дифракции $\theta$ можно выразить через расстояние от решетки до экрана $D$ и смещение максимума $x$:

$\tan\theta = \frac{x}{D} = \frac{l/2}{D} = \frac{l}{2D}$

Поскольку расстояние до экрана $D$ ($2,0$ м) значительно больше, чем смещение максимума $x = 6,0/2 = 3,0$ см ($0,03$ м), угол дифракции $\theta$ является малым. Для малых углов справедливо приближение $\sin\theta \approx \tan\theta$.

Следовательно, мы можем записать:

$\sin\theta \approx \frac{l}{2D}$

Подставим это выражение в формулу условия максимума:

$d \frac{l}{2D} = \lambda$

Отсюда выражаем искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{d \cdot l}{2D}$

Подставим числовые значения:

$\lambda = \frac{40 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot 6,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{2 \cdot 2,0 \text{ м}} = \frac{240 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2}{4,0 \text{ м}} = 60 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

Результат можно выразить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$):

$\lambda = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 600 \text{ нм}$

Ответ: длина световой волны $\lambda = 600$ нм.