Номер 1425, страница 266 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 1,0 \text{ м/с}$

$l_1 = 1,8 \text{ м}$

$\Delta t = 2,0 \text{ с}$

$l_2 = 1,3 \text{ м}$

$h = 1,8 \text{ м}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$H$

Решение:

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, которые образуются благодаря лучу света от фонаря, проходящему через макушку человека и касающемуся земли в конце тени. Первый, больший треугольник, имеет катеты: высоту столба $H$ и расстояние от основания столба до конца тени. Второй, меньший треугольник, имеет катеты: рост человека $h$ и длину его тени $l$.

Пусть $x$ - расстояние от человека до столба в некоторый момент времени. Тогда расстояние от основания столба до конца тени равно $x+l$.

Из подобия треугольников следует соотношение их катетов:

$\frac{H}{h} = \frac{x+l}{l}$

Выразим из этого уравнения расстояние $x$:

$Hl = h(x+l)$

$Hl = hx + hl$

$hx = Hl - hl$

$x = \frac{l(H-h)}{h}$

Это соотношение справедливо для любого момента времени.

Запишем это уравнение для двух моментов времени, указанных в условии задачи.

В начальный момент времени, когда длина тени была $l_1$, расстояние человека до столба было $x_1$:

$x_1 = \frac{l_1(H-h)}{h}$

Через промежуток времени $\Delta t$, когда длина тени стала $l_2$, расстояние человека до столба стало $x_2$:

$x_2 = \frac{l_2(H-h)}{h}$

За время $\Delta t$ человек, двигаясь со скоростью $v$, приблизился к столбу на расстояние $\Delta x = v \cdot \Delta t$.

Это изменение расстояния можно также выразить как разность $x_1 - x_2$:

$\Delta x = x_1 - x_2 = v \cdot \Delta t$

Подставим в это уравнение выражения для $x_1$ и $x_2$:

$v \cdot \Delta t = \frac{l_1(H-h)}{h} - \frac{l_2(H-h)}{h}$

Вынесем общий множитель $\frac{H-h}{h}$ за скобки:

$v \cdot \Delta t = \frac{(H-h)(l_1-l_2)}{h}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую высоту столба $H$:

$h \cdot v \cdot \Delta t = (H-h)(l_1-l_2)$

$H-h = \frac{h \cdot v \cdot \Delta t}{l_1-l_2}$

$H = h + \frac{h \cdot v \cdot \Delta t}{l_1-l_2} = h \left(1 + \frac{v \cdot \Delta t}{l_1-l_2}\right)$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$H = 1,8 \cdot \left(1 + \frac{1,0 \cdot 2,0}{1,8 - 1,3}\right) = 1,8 \cdot \left(1 + \frac{2,0}{0,5}\right) = 1,8 \cdot (1 + 4) = 1,8 \cdot 5 = 9,0 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой висит фонарь, составляет $9,0 \text{ м}$.