Номер 1430, страница 267 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость источника света, $v = 4,0 \, \text{м/с}$

Данные уже в системе СИ.

Найти:

Модуль скорости $v_{12}$, с которой первые мнимые изображения источника в зеркалах будут двигаться относительно друг друга.

Решение:

Введем одномерную систему координат, направив ось $Ox$ перпендикулярно плоскостям зеркал. Пусть одно зеркало (Зеркало 1) расположено в координате $x_1 = -L$, а второе (Зеркало 2) — в координате $x_2 = L$. Поскольку источник света изначально находится посередине, его начальная координата $x_S(0) = 0$.

Пусть источник начинает двигаться в сторону Зеркала 2, то есть в положительном направлении оси $Ox$. Тогда его координата в момент времени $t$ будет описываться уравнением:

$x_S(t) = v \cdot t$

Положение мнимого изображения $x_{из}$ в плоском зеркале связано с положением объекта $x_{об}$ и положением зеркала $x_{з}$ по формуле:

$x_{из} = 2x_{з} - x_{об}$

Найдем положение первого мнимого изображения в Зеркале 1 ($И_1$). Для этого зеркала $x_з = -L$:

$x_{И1}(t) = 2(-L) - x_S(t) = -2L - v \cdot t$

Теперь найдем положение первого мнимого изображения в Зеркале 2 ($И_2$). Для этого зеркала $x_з = L$:

$x_{И2}(t) = 2L - x_S(t) = 2L - v \cdot t$

Скорость движения объекта является производной его координаты по времени. Найдем скорости наших изображений:

Скорость изображения $И_1$:

$v_{И1} = \frac{d x_{И1}(t)}{dt} = \frac{d(-2L - v \cdot t)}{dt} = -v$

Это означает, что изображение $И_1$ движется в отрицательном направлении оси $Ox$ (влево) с постоянной скоростью, модуль которой равен $v$. Это логично, так как источник удаляется от Зеркала 1, и его изображение также должно удаляться от этого зеркала.

Скорость изображения $И_2$:

$v_{И2} = \frac{d x_{И2}(t)}{dt} = \frac{d(2L - v \cdot t)}{dt} = -v$

Это означает, что изображение $И_2$ также движется в отрицательном направлении оси $Ox$ (влево) со скоростью, модуль которой равен $v$. Это также логично, так как источник приближается к Зеркалу 2, и его изображение, находящееся за зеркалом, также приближается к нему, двигаясь навстречу.

Относительная скорость двух изображений $v_{12}$ — это векторная разность их скоростей. Поскольку движение происходит вдоль одной прямой, мы можем вычесть их проекции на ось $Ox$:

$v_{12} = v_{И1} - v_{И2} = (-v) - (-v) = -v + v = 0$

Таким образом, скорость первого изображения относительно второго равна нулю. Это означает, что расстояние между ними остается постоянным:

$d = x_{И2}(t) - x_{И1}(t) = (2L - v \cdot t) - (-2L - v \cdot t) = 2L - v \cdot t + 2L + v \cdot t = 4L$

Модуль относительной скорости равен нулю.

Ответ: $v_{12} = 0 \, \text{м/с}$.