Номер 1436, страница 267 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Зеркало в форме равностороннего треугольника
Сторона треугольника, $a = 10.0 \text{ см}$

$a = 0.100 \text{ м}$

Найти:

Площадь «зайчика» на экране, $S$

Решение:

Световое пятно («зайчик») на экране образуется лучами, отраженными от плоского зеркала. Для построения хода лучей и определения размеров пятна удобно воспользоваться методом мнимого изображения.

Пусть точечный источник света $P$ находится на экране. Плоское зеркало расположено параллельно экрану на некотором расстоянии $h$. Мнимое изображение $P'$ источника света $P$ будет находиться за зеркалом на таком же расстоянии $h$ от него. Таким образом, расстояние от мнимого источника $P'$ до плоскости зеркала составляет $h$, а до плоскости экрана — $h + h = 2h$.

Отраженные от зеркала лучи распространяются так, как будто они исходят из мнимого источника $P'$. Следовательно, световое пятно на экране является проекцией треугольного зеркала из точки $P'$ на плоскость экрана.

Поскольку плоскость зеркала параллельна плоскости экрана, фигура светового пятна будет подобна фигуре зеркала. То есть «зайчик» также будет представлять собой равносторонний треугольник.

Найдем коэффициент подобия $k$ между световым пятном и зеркалом. Он равен отношению расстояний от центра проекции (мнимого источника $P'$) до плоскости экрана и до плоскости зеркала:

$k = \frac{\text{расстояние от } P' \text{ до экрана}}{\text{расстояние от } P' \text{ до зеркала}} = \frac{2h}{h} = 2$

Это означает, что линейные размеры светового пятна будут в 2 раза больше линейных размеров зеркала. Если сторона зеркала равна $a$, то сторона $a_S$ светового пятна на экране будет:

$a_S = k \cdot a = 2a$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S}{S_{зеркала}} = k^2 = 2^2 = 4$

Следовательно, площадь «зайчика» $S$ в 4 раза больше площади зеркала $S_{зеркала}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{зеркала} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Тогда искомая площадь светового пятна $S$ равна:

$S = 4 \cdot S_{зеркала} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Подставим заданное значение стороны $a = 10.0 \text{ см}$:

$S = (10.0 \text{ см})^2 \cdot \sqrt{3} = 100 \text{ см}^2 \cdot \sqrt{3} = 100\sqrt{3} \text{ см}^2$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205...$:

$S \approx 100 \cdot 1.73205 \approx 173.205 \text{ см}^2$

С учетом того, что длина стороны дана с тремя значащими цифрами (10.0), результат следует округлить до трех значащих цифр.

$S \approx 173 \text{ см}^2$

Ответ: $S = 100\sqrt{3} \text{ см}^2 \approx 173 \text{ см}^2$.