Номер 1439, страница 268 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Шарик движется по прямой на горизонтальном столе.
Изображение шарика в плоском зеркале движется по вертикали.

Найти:

Угол $\phi$ между плоскостью зеркала и плоскостью стола.

Решение:

Введем систему координат. Пусть плоскость стола совпадает с плоскостью $OXY$, а вертикальное направление — с осью $OZ$. Направим ось $OX$ вдоль траектории движения шарика. Тогда вектор скорости шарика $\vec{v}_{ш}$ будет направлен горизонтально, вдоль оси $OX$: $\vec{v}_{ш} = (v_x, 0, 0)$, где $v_x$ — скорость шарика.

По условию задачи, изображение шарика движется вертикально. Это означает, что вектор скорости изображения $\vec{v}_{из}$ направлен вдоль оси $OZ$: $\vec{v}_{из} = (0, 0, v_z)$, где $v_z$ — скорость изображения.

Для неподвижного плоского зеркала скорость изображения является зеркальным отражением скорости самого объекта. Это означает, что плоскость зеркала должна быть биссекторной плоскостью для векторов скорости объекта $\vec{v}_{ш}$ и его изображения $\vec{v}_{из}$.

Вектор скорости шарика $\vec{v}_{ш}$ лежит в горизонтальной плоскости, а вектор скорости изображения $\vec{v}_{из}$ перпендикулярен этой плоскости. Следовательно, угол $\alpha$ между этими векторами равен $90^\circ$.

$\alpha = \angle(\vec{v}_{ш}, \vec{v}_{из}) = 90^\circ$

Угол $\phi$, под которым зеркало наклонено к плоскости стола (в которой лежит вектор $\vec{v}_{ш}$), должен быть равен половине угла $\alpha$ между векторами $\vec{v}_{ш}$ и $\vec{v}_{из}$.

$\phi = \frac{\alpha}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Таким образом, чтобы изображение шарика двигалось вертикально, плоское зеркало следует установить под углом $45^\circ$ к плоскости стола.

Математическое доказательство:

Пусть шарик движется вдоль оси $OX$, его скорость $\vec{v}_{ш} = (v_x, 0, 0)$. Зеркало расположено под углом $\phi$ к плоскости стола $OXY$. Можно считать, что линия пересечения зеркала со столом — это ось $OY$. Тогда нормаль к зеркалу $\hat{n}$ лежит в плоскости $OXZ$. Выберем нормаль, направленную в верхнюю полуплоскость, тогда $\hat{n} = (-\sin\phi, 0, \cos\phi)$.

Скорость изображения $\vec{v}_{из}$ находится по формуле отражения:

$\vec{v}_{из} = \vec{v}_{ш} - 2(\vec{v}_{ш} \cdot \hat{n})\hat{n}$

Найдем скалярное произведение:

$\vec{v}_{ш} \cdot \hat{n} = (v_x, 0, 0) \cdot (-\sin\phi, 0, \cos\phi) = -v_x\sin\phi$

Подставим в формулу для скорости изображения:

$\vec{v}_{из} = (v_x, 0, 0) - 2(-v_x\sin\phi)(-\sin\phi, 0, \cos\phi) = (v_x - 2v_x\sin^2\phi, 0, 2v_x\sin\phi\cos\phi)$

Используя формулы двойного угла $\cos(2\phi)=1-2\sin^2\phi$ и $\sin(2\phi)=2\sin\phi\cos\phi$, получаем:

$\vec{v}_{из} = (v_x\cos(2\phi), 0, v_x\sin(2\phi))$

По условию, изображение движется вертикально, то есть его скорость имеет только вертикальную ($z$) компоненту. Это значит, что горизонтальная ($x$) компонента скорости равна нулю:

$v_{из,x} = v_x\cos(2\phi) = 0$

Поскольку шарик движется, $v_x \neq 0$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\cos(2\phi) = 0$

Это уравнение справедливо, когда $2\phi = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число. Отсюда $\phi = 45^\circ + 90^\circ \cdot k$.

Физически осмысленным является острый угол между плоскостями, что соответствует $k=0$.

$\phi = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.