Номер 1438, страница 268 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угловая высота Солнца над горизонтом $ \varphi_0 = 30^\circ $.

Найти:

Угол $ \varphi $ наклона плоского зеркала к горизонту, чтобы отраженные лучи были направлены:

а) вертикально вверх;

б) вертикально вниз.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом отражения света, согласно которому угол падения луча на поверхность равен углу отражения. Это также означает, что угол скольжения падающего луча (угол между лучом и поверхностью зеркала) равен углу скольжения отраженного луча. Будем использовать этот факт для геометрического решения.

Обозначим искомый угол наклона зеркала к горизонту через $ \varphi $.

а) чтобы отраженные лучи направить вертикально вверх

Падающий солнечный луч составляет с линией горизонта угол $ \varphi_0 $. Чтобы отраженный луч был направлен вертикально вверх, он должен составлять с горизонтом угол $ 90^\circ $. Для этого зеркало должно быть наклонено к горизонту под некоторым углом $ \varphi $.

Рассмотрим углы скольжения. Угол скольжения падающего луча (угол между падающим лучом и плоскостью зеркала) равен $ \gamma_п = \varphi - \varphi_0 $. Это соотношение верно, когда зеркало наклонено под большим углом к горизонту, чем падающий луч ($ \varphi > \varphi_0 $), что и требуется для отражения луча вверх.

Угол скольжения отраженного луча (угол между отраженным лучом и плоскостью зеркала) равен $ \gamma_о $. Поскольку отраженный луч перпендикулярен горизонту, а зеркало наклонено к горизонту под углом $ \varphi $, из простого геометрического построения следует, что $ \gamma_о = 90^\circ - \varphi $.

По закону отражения, углы скольжения падающего и отраженного лучей равны: $ \gamma_п = \gamma_о $.

Приравнивая выражения для углов, получаем уравнение:

$ \varphi - \varphi_0 = 90^\circ - \varphi $

Решим это уравнение относительно $ \varphi $:

$ 2\varphi = 90^\circ + \varphi_0 $

$ \varphi = \frac{90^\circ + \varphi_0}{2} $

Подставим известное значение $ \varphi_0 = 30^\circ $:

$ \varphi = \frac{90^\circ + 30^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $

Ответ: чтобы направить отраженные лучи вертикально вверх, зеркало следует расположить под углом $ 60^\circ $ к горизонту.

б) чтобы отраженные лучи направить вертикально вниз

В этом случае отраженный луч должен быть направлен перпендикулярно горизонту, но уже вниз. Для этого отражающая поверхность зеркала должна быть наклонена к горизонту.

Обозначим угол наклона зеркала к горизонту как $ \varphi $ (положительная величина, соответствующая углу наклона вниз).

Угол скольжения падающего луча относительно зеркала теперь будет равен сумме угла падения луча на горизонт и угла наклона зеркала (так как луч и зеркало находятся по разные стороны от горизонтали, если продлить их до пересечения): $ \gamma_п = \varphi_0 + \varphi $.

Отраженный луч направлен вертикально вниз. Угол скольжения отраженного луча относительно зеркала, наклоненного под углом $ \varphi $ к горизонту, будет $ \gamma_о = 90^\circ - \varphi $.

Приравнивая углы скольжения $ \gamma_п = \gamma_о $, получаем:

$ \varphi_0 + \varphi = 90^\circ - \varphi $

Решим полученное уравнение относительно $ \varphi $:

$ 2\varphi = 90^\circ - \varphi_0 $

$ \varphi = \frac{90^\circ - \varphi_0}{2} $

Подставим значение $ \varphi_0 = 30^\circ $:

$ \varphi = \frac{90^\circ - 30^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Ответ: чтобы направить отраженные лучи вертикально вниз, зеркало следует расположить под углом $ 30^\circ $ к горизонту.