Номер 1435, страница 267 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Круглое зеркало радиусом $R$.

Точечный источник света $S$ и зеркало находятся на параллельных плоскостях (потолок и пол).

Найти:

Форму и размер светового пятна («зайчика») на потолке.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом мнимых изображений. Свет, отраженный от плоского зеркала, распространяется так, как если бы он исходил из мнимого изображения источника.

Пусть высота потолка над полом, где лежит зеркало, равна $h$. Источник света $S$ находится на потолке, то есть на высоте $h$ над зеркалом. Его мнимое изображение $S'$ будет находиться за плоскостью зеркала на таком же расстоянии, то есть на глубине $h$ под плоскостью пола.

Световое пятно («зайчик») на потолке представляет собой проекцию круглого зеркала на плоскость потолка из центра проекции в точке мнимого источника $S'$.

Форма «зайчика»

Так как плоскость зеркала (пол) параллельна плоскости потолка, то центральная проекция круга (зеркала) на параллельную плоскость (потолок) также будет являться кругом. Следовательно, форма «зайчика» — это круг.

Размер «зайчика»

Для определения радиуса «зайчика», обозначим его $R'$, рассмотрим подобные треугольники. Построим сечение системы вертикальной плоскостью, проходящей через центр мнимого источника $S'$ и диаметр зеркала. В этом сечении мы получим два подобных треугольника с общей вершиной в точке $S'$.

Основанием меньшего треугольника является диаметр зеркала, равный $2R$. Его высота — это расстояние от $S'$ до плоскости зеркала, которое равно $h$.

Основанием большего треугольника является диаметр «зайчика», равный $2R'$. Его высота — это расстояние от $S'$ до плоскости потолка, которое равно $h + h = 2h$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их оснований равно отношению их высот:

$$ \frac{2R'}{2R} = \frac{h+h}{h} = \frac{2h}{h} $$

Сократив общие множители, получим:

$$ \frac{R'}{R} = 2 $$

Отсюда находим радиус светового пятна:

$$ R' = 2R $$

Таким образом, радиус «зайчика» в два раза больше радиуса зеркала и не зависит от высоты потолка или положения зеркала на полу.

Ответ:

Световое пятно («зайчик») имеет форму круга радиусом $2R$.