Номер 1444, страница 268 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус кривизны вогнутого зеркала, $R = 1,2$ м
Увеличение, $\Gamma = 4,0$
Изображение прямое

Найти:

Расстояние от предмета до зеркала, $d$

Решение:

Фокусное расстояние вогнутого зеркала $F$ связано с его радиусом кривизны $R$ следующим соотношением:

$F = \frac{R}{2}$

Подставим известное значение радиуса кривизны, чтобы найти фокусное расстояние:

$F = \frac{1,2 \text{ м}}{2} = 0,6 \text{ м}$

Для вогнутого зеркала фокусное расстояние является положительной величиной.

Формула сферического зеркала связывает расстояние от предмета до зеркала $d$, расстояние от изображения до зеркала $f'$ и фокусное расстояние $F$:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$

Линейное увеличение $\Gamma$, которое дает зеркало, определяется по формуле:

$\Gamma = -\frac{f'}{d}$

Из условия задачи известно, что изображение прямое. Прямое изображение, которое дает одно вогнутое зеркало, всегда является мнимым. В принятой системе знаков для мнимого изображения расстояние $f'$ считается отрицательным, а увеличение $\Gamma$ — положительным. Условие $\Gamma = 4,0 > 0$ соответствует прямому изображению.

Используя формулу увеличения, выразим расстояние до изображения $f'$ через расстояние до предмета $d$:

$4,0 = -\frac{f'}{d}$

Отсюда получаем:

$f' = -4,0 d$

Знак "минус" в выражении для $f'$ подтверждает, что изображение является мнимым и находится за зеркалом.

Теперь подставим это выражение для $f'$ в формулу сферического зеркала:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{-4,0d} = \frac{1}{F}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{d} - \frac{1}{4d} = \frac{1}{F}$

$\frac{4 - 1}{4d} = \frac{1}{F}$

$\frac{3}{4d} = \frac{1}{F}$

Теперь из этого соотношения выразим искомую величину $d$:

$4d = 3F$

$d = \frac{3F}{4}$

Подставим численное значение фокусного расстояния $F = 0,6$ м:

$d = \frac{3 \times 0,6 \text{ м}}{4} = \frac{1,8 \text{ м}}{4} = 0,45 \text{ м}$

Для получения прямого, мнимого и увеличенного изображения в вогнутом зеркале, предмет необходимо расположить между фокусом и зеркалом, то есть должно выполняться условие $d < F$. Проверим это: $0,45 \text{ м} < 0,6 \text{ м}$. Условие выполняется, следовательно, решение является физически корректным.

Ответ: $d = 0,45$ м.