Номер 1451, страница 269 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 40 \text{ см}$

$R = 60 \text{ см}$

$d = 0.4 \text{ м}$

$R = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$l$

Решение:

Для того чтобы лучи, отразившись от двух зеркал, вернулись в точку, где находится источник, необходимо, чтобы итоговое изображение, построенное оптической системой, совпало с самим источником. Проследим ход лучей.

1. Сначала лучи от источника $S$, находящегося на расстоянии $d$ от вогнутого зеркала, отражаются от этого зеркала. Они создают промежуточное изображение $S'$. Положение этого изображения $f_1$ можно найти с помощью формулы тонкой линзы (или сферического зеркала):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Здесь $F$ – фокусное расстояние вогнутого зеркала. Для сферического зеркала фокусное расстояние равно половине радиуса кривизны:

$F = \frac{R}{2} = \frac{60 \text{ см}}{2} = 30 \text{ см}$

Подставим известные значения в формулу зеркала и найдем $f_1$:

$\frac{1}{40 \text{ см}} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{30 \text{ см}}$

$\frac{1}{f_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{4 - 3}{120} = \frac{1}{120 \text{ см}^{-1}}$

$f_1 = 120 \text{ см}$

Так как $f_1 > 0$, изображение $S'$ является действительным. Оно находится на расстоянии 120 см от вогнутого зеркала. Лучи, отраженные от вогнутого зеркала, сходятся в этой точке.

2. На пути этих сходящихся лучей на расстоянии $l$ от вогнутого зеркала ставят плоское зеркало ($l < f_1$). Таким образом, для плоского зеркала изображение $S'$ является мнимым объектом, который находится на расстоянии $(f_1 - l)$ за зеркалом.

Плоское зеркало создает изображение на том же расстоянии от себя, что и объект, но с другой стороны. Поскольку объект $S'$ для плоского зеркала мнимый (за зеркалом), то его изображение $S''$ будет действительным (перед зеркалом) и находиться на расстоянии $(f_1 - l)$ от него.

3. По условию задачи, лучи должны вернуться в исходную точку, то есть конечное изображение $S''$ должно совпасть с источником $S$. Источник $S$ находится на расстоянии $d$ от вогнутого зеркала.

Расстояние от конечного изображения $S''$ до вогнутого зеркала можно выразить как разность расстояния от вогнутого зеркала до плоского ($l$) и расстояния от плоского зеркала до изображения $S''$ ($(f_1 - l)$):

$d_{S''} = l - (f_1 - l) = 2l - f_1$

Приравниваем это расстояние к исходному положению источника $d$:

$d = 2l - f_1$

Выразим $l$:

$2l = d + f_1$

$l = \frac{d + f_1}{2}$

Подставим числовые значения:

$l = \frac{40 \text{ см} + 120 \text{ см}}{2} = \frac{160 \text{ см}}{2} = 80 \text{ см}$

Таким образом, плоское зеркало нужно поставить на расстоянии 80 см от вогнутого.

Ответ: $l = 80 \text{ см}$.