Номер 1458, страница 270 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол между отраженным и преломленным лучами $\gamma = 90^\circ$
Скорость света в стекле $v = 2,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$
Скорость света в вакууме (и приблизительно в воздухе) $c \approx 3,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$
Показатель преломления воздуха $n_1 \approx 1$

Найти:

Угол падения $\alpha$

Решение:

В условии задачи допущена опечатка: угол падения и угол между отраженным и преломленным лучами обозначены одной буквой $\alpha$. Будем считать, что найти нужно угол падения $\alpha$, а угол между отраженным и преломленным лучами равен $\gamma = 90^\circ$.

Обозначим угол падения как $\alpha$, угол отражения как $\alpha'$, и угол преломления как $\beta$.

Согласно закону отражения света, угол падения равен углу отражения:
$\alpha = \alpha'$

Углы отражения и преломления отсчитываются от нормали (перпендикуляра) к поверхности. Отраженный луч и преломленный луч находятся по разные стороны от поверхности раздела сред. Угол между отраженным лучом и поверхностью составляет $90^\circ - \alpha'$, а угол между преломленным лучом и поверхностью — $90^\circ - \beta$. Общий угол $\gamma$ между лучами равен сумме этих углов:
$\gamma = (90^\circ - \alpha') + (90^\circ - \beta) = 180^\circ - (\alpha' + \beta)$

Подставим в это соотношение известное значение $\gamma = 90^\circ$:
$90^\circ = 180^\circ - (\alpha' + \beta)$
Отсюда находим связь между углом отражения и углом преломления:
$\alpha' + \beta = 90^\circ$

Так как $\alpha = \alpha'$, то $\alpha + \beta = 90^\circ$. Выразим угол преломления $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha$

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса):
$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$
где $n_1$ — показатель преломления первой среды (воздух, $n_1 \approx 1$), а $n_2$ — показатель преломления второй среды (стекло).

Найдем показатель преломления стекла по формуле:
$n_2 = \frac{c}{v}$
$n_2 = \frac{3,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}}{2,0 \cdot 10^8 \frac{м}{с}} = 1,5$

Подставим выражение для $\beta$ и значения показателей преломления в закон Снеллиуса:
$1 \cdot \sin\alpha = 1,5 \cdot \sin(90^\circ - \alpha)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем:
$\sin\alpha = 1,5 \cdot \cos\alpha$

Разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ (поскольку угол падения не может быть $90^\circ$, $\cos\alpha \neq 0$):
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1,5$
$\text{tg}\alpha = 1,5$

Из этого уравнения находим искомый угол падения $\alpha$:
$\alpha = \text{arctg}(1,5) \approx 56,3^\circ$

Этот угол падения известен как угол Брюстера.

Ответ: Угол падения светового луча составляет примерно $56,3^\circ$.